Initiation au calcul intégral/Intégration par parties

Introduction

L'intégration par parties (IPP) est une propriété couramment utilisée dans le calcul d'intégrales car elle simplifie radicalement des expressions complexes. Elle consiste à "jouer" avec les applications mises en jeu.

Formule d'intégration par parties

La formule de l'Intégration Par Parties (IPP) est donnée par la relation suivante:

Théorème

Soient u et v deux fonctions dérivables, dont les dérivées sont continues.

$\int _{a}^{b}{u'v}=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}{uv'}$

Cette formule provient de l'intégration de la formule de dérivation d'un produit.

Exemple simple

On sait qu'une primitive de $1\mapsto x$ est $x\mapsto {\frac {x^{2}}{2}}$ .

On souhaite ici calculer $\int _{0}^{1}x~\mathrm {d} x$ sans utiliser cette primitive, grâce à la formule d'intégration par parties en écrivant que $\int _{0}^{1}x~\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{1\times x~\mathrm {d} x}$

On pose :

sur $\mathbb {R}$ la fonction $v:x\mapsto x$ , donc pour tout $x\in \mathbb {R} ,~v'(x)=1$
u une fonction telle que pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u'(x)=1$ , par exemple $u:x\mapsto x$

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}x~\mathrm {d} x&=\int _{0}^{1}{1\times x~\mathrm {d} x}\\&=\int _{0}^{1}{u'(x)v(x)~\mathrm {d} x}\\&=[uv]_{0}^{1}-\int _{0}^{1}u(x)v'(x)~\mathrm {d} x\\&=[x\times x]_{x=0}^{x=1}-\int _{0}^{1}x\times 1~\mathrm {d} x\end{aligned}}$

$\iff \int _{0}^{1}{1\times x~\mathrm {d} x}+\int _{0}^{1}x\times 1~\mathrm {d} x=[x\times x]_{x=0}^{x=1}$

$\iff 2\int _{0}^{1}x~\mathrm {d} x=[x\times x]_{x=0}^{x=1}$

ce qui se simplifie en : $2\int _{0}^{1}x~\mathrm {d} x=1^{2}-0^{2}=1$

Donc

\int _{0}^{1}x~\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}

Exemple classique

Cette section nécessite des connaissances sur la fonction exponentielle. Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.

Calculer

\int _{0}^{1}{xe^{x}~\mathrm {d} x}

On choisit u telle que pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u'(x)=\cdots$
On pose pour tout $x\in \mathbb {R} ,~v(x)=\cdots$

On obtient pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cdots$ et $v'(x)=\cdots$ :

$\int _{0}^{1}{xe^{x}~\mathrm {d} x}=\cdots$

Solution

On choisit une fonction u telle que pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u'(x)=e^{x}$
On pose sur $\mathbb {R}$ la fonction $v:x\mapsto x$
On obtient pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u(x)=e^{x}$ et $v'(x)=1$ .

On applique alors la formule d'intégration par parties : ${\begin{aligned}\int _{0}^{1}{xe^{x}~\mathrm {d} x}&=\int _{0}^{1}{u'(x)v(x)~\mathrm {d} x}\\&=[uv]_{0}^{1}-\int _{0}^{1}u(x)v'(x)~\mathrm {d} x\\&=[xe^{x}]_{x=0}^{x=1}-\int _{0}^{1}{e^{x}~\mathrm {d} x}\\&=1e^{1}-0e^{0}-(e^{1}-e^{0})\\&=e-e+1\\&=1\end{aligned}}$

Avec cosinus

$\int _{0}^{\pi }{x\cos(x)~\mathrm {d} x}$

Solution

On choisit une fonction u telle que pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u'(x)=\cos(x)$
On pose sur $\mathbb {R}$ la fonction $v:x\mapsto x$
On obtient pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\sin(x)$ et $v'(x)=1$ .

On applique alors la formule d'intégration par parties : ${\begin{aligned}\int _{0}^{\pi }{x\cos(x)~\mathrm {d} x}&=\int _{0}^{\pi }{u'(x)v(x)~\mathrm {d} x}\\&=[uv]_{0}^{\pi }-\int _{0}^{\pi }u(x)v'(x)~\mathrm {d} x\\&=[x\sin(x)]_{x=0}^{x=\pi }+\int _{0}^{\pi }{(-\sin(x))~\mathrm {d} x}\\&=[x\sin(x)]_{x=0}^{x=\pi }+[\cos(x)]_{x=0}^{x=\pi }\\&=[\cos(x)]_{x=0}^{x=\pi }\\&=-2\\\end{aligned}}$

Avec un logarithme

Cette section nécessite des connaissances sur la fonction logarithme. Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.

$\int _{1}^{4}{x\ln(x)~\mathrm {d} x}$

Solution

On choisit une fonction u telle que pour tout $x\in [1;4],~u'(x)=x$
On pose sur [1;4] la fonction $v:x\mapsto \ln(x)$
On obtient pour tout $x\in [1;4],~u(x)={\frac {x^{2}}{2}}$ et $v'(x)={\frac {1}{x}}$ .

On applique alors la formule d'intégration par parties : ${\begin{aligned}\int _{1}^{4}{x\ln(x)~\mathrm {d} x}&=\int _{1}^{4}{u'(x)v(x)~\mathrm {d} x}\\&=[uv]_{1}^{4}-\int _{1}^{4}u(x)v'(x)~\mathrm {d} x\\&=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln(x)\right]_{x=1}^{x=4}-\int _{1}^{4}{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {1}{x}}~\mathrm {d} x\\&=8\ln(4)-0-{\frac {1}{2}}\int _{1}^{4}x~\mathrm {d} x\\&=8\ln(2^{2})-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{x=1}^{x=4}\\&=8\times 2\ln(2)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {4^{2}}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)\\&=16\ln(2)-{\frac {15}{4}}\\\end{aligned}}$

En utilisant consécutivement plusieurs IPP

Cette section nécessite des connaissances sur la fonction exponentielle. Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.

$\int _{-1}^{1}{x^{2}e^{x}~\mathrm {d} x}$ .

Solution

On choisit une fonction u telle que pour tout $x\in [-1;1],~u'(x)=e^{x}$
On pose sur [-1;1] la fonction $v:x\mapsto x^{2}$
On obtient pour tout $x\in [-1;1],~u(x)=e^{x}$ et $v'(x)=2x$ .

On applique alors la formule d'intégration par parties : ${\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{x^{2}e^{x}~\mathrm {d} x}&=\int _{-1}^{1}{u'(x)v(x)~\mathrm {d} x}\\&=[uv]_{-1}^{1}-\int _{-1}^{1}u(x)v'(x)~\mathrm {d} x\\&=[x^{2}e^{x}]_{x=-1}^{x=1}-2\int _{-1}^{1}xe^{x}~\mathrm {d} x\\&=e-{\frac {1}{e}}-2\int _{-1}^{1}xe^{x}~\mathrm {d} x\end{aligned}}$

On choisit une fonction u₂ telle que pour tout $x\in [-1;1],~u_{2}'(x)=e^{x}$
On pose sur [-1;1] la fonction $v_{2}:x\mapsto x$
On obtient pour tout $x\in [-1;1],~u_{2}(x)=e^{x}$ et $v_{2}'(x)=1$ .

On applique alors derechef la formule d'intégration par parties : ${\begin{aligned}e-{\frac {1}{e}}-2\int _{-1}^{1}xe^{x}~\mathrm {d} x&=e-{\frac {1}{e}}-2\int _{-1}^{1}u_{2}'(x)v_{2}(x)~\mathrm {d} x\\&=e-{\frac {1}{e}}-2\left([u_{2}v_{2}]_{-1}^{1}-\int _{-1}^{1}u_{2}(x)v_{2}'(x)~\mathrm {d} x\right)\\&=e-{\frac {1}{e}}-2\left([xe^{x}]_{-1}^{1}-\int _{-1}^{1}e^{x}~\mathrm {d} x\right)\\&=e-{\frac {1}{e}}-2\left(e+{\frac {1}{e}}-[e^{x}]_{x=-1}^{x=1}\right)\\&=e-{\frac {1}{e}}-2\left(e+{\frac {1}{e}}-\left(e-{\frac {1}{e}}\right)\right)\\&=e-{\frac {5}{e}}\\\end{aligned}}$

Exemple corrigé

$A=\int _{0}^{2}{(x-2)e^{x}~\mathrm {d} x}$ .

Solution

On choisit $u'(x)=e^{x}$ et $v(x)=x-2$

On obtient $u(x)=e^{x}$ et $v'(x)=1$ :

Ainsi, on obtient

[(x-2)e^{x}]_{0}^{2}-\int _{0}^{2}{e^{x}dx}=0+2-[e^{x}]_{0}^{2}

D'où

A=0+2-(e^{2}-1)=3-e^{2}

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