${\displaystyle f}$ est définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} \left\backslash \left\{\left.\pm {\sqrt {{\frac {\pi }{2}}+k\pi }}\,\right|\,k\in \mathbb {N} \right\}\right.}$, qui est la réunion de tous les intervalles ${\displaystyle \left]{\sqrt {k\pi -{\frac {\pi }{2}}}},{\sqrt {k\pi +{\frac {\pi }{2}}}}\right[}$ et ${\displaystyle \left]-{\sqrt {k\pi +{\frac {\pi }{2}}}},-{\sqrt {k\pi -{\frac {\pi }{2}}}}\right[}$ pour ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ^{*}}$ et de ${\displaystyle \left]-{\sqrt {\frac {\pi }{2}}},{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\right[}$.

Sur chacun de ces intervalles, ${\displaystyle f={\frac {-u'}{2u}}}$ avec ${\displaystyle u(x)=\cos x^{2}}$ donc une primitive de ${\displaystyle f}$ est ${\displaystyle F={\frac {-\ln \left|\cos x^{2}\right|}{2}}}$.

Une simple intégration par parties montre que (sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$) :

• une primitive de ${\displaystyle x\mapsto x\cos x}$ est ${\displaystyle x\mapsto x\sin x+\cos x}$ ;
• une primitive de ${\displaystyle x\mapsto x\sin x}$ est ${\displaystyle x\mapsto -x\cos x+\sin x}$.

Une simple intégration par parties montre qu'une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est ${\displaystyle F:x\mapsto x{\frac {-\cos 2x}{2}}+{\frac {\sin 2x}{4}}}$.

En enchaînant deux intégrations par parties, on montre qu'une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est ${\displaystyle F:x\mapsto x^{2}\sin x+2x\cos x-2\sin x}$.

Sachant que ${\displaystyle \cos ^{2}x={\frac {1+\cos 2x}{2}}}$, une intégrations par parties montre qu'une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est

${\displaystyle F:x\mapsto x\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\sin 2x}{4}}\right)-{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {\cos 2x}{8}}={\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {x\sin 2x}{4}}+{\frac {\cos 2x}{8}}}$.

En enchaînant deux intégrations par parties, on montre qu'une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est

${\displaystyle F:x\mapsto (3x^{2}-7x+1){\frac {\sin 3x}{3}}+{\frac {6x-7}{3}}{\frac {\cos 3x}{3}}-2{\frac {\sin 3x}{9}}={\frac {(9x^{2}-21x+1)\sin 3x+(6x-7)\cos 3x}{9}}}$.

Une intégration par parties montre que sur chaque intervalle ${\displaystyle \left]k\pi -{\frac {\pi }{2}},k\pi +{\frac {\pi }{2}}\right[}$ (avec ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$), une primitive de ${\displaystyle f:x\mapsto x\tan 'x}$ est ${\displaystyle F:x\mapsto x\tan x+\ln |\cos x|}$.

${\displaystyle f(x)=3x(\sin ^{3})'x}$ et ${\displaystyle \sin ^{3}=-(1-\cos ^{2})\cos '}$ donc (par intégration par parties) une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est

${\displaystyle F:x\mapsto 3x\sin ^{3}x+3\cos x-\cos ^{3}x}$.

${\displaystyle f(x)=x\left(\cos 4x-\cos 2x\right)}$ donc (par intégration par parties) une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est

${\displaystyle F:x\mapsto x\left({\frac {\sin 4x}{4}}-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+{\frac {\cos 4x}{16}}-{\frac {\cos 2x}{4}}}$.

En enchaînant deux intégrations par parties, on montre qu'une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est

${\displaystyle F:x\mapsto {\frac {9x^{2}-21x+1}{9}}\left[\sin(3x-1)-2\cos(3x+1)\right]+{\frac {6x-7}{9}}\left[\cos(3x-1)+2\sin(3x+1)\right]}$.