1°  Pour tout entier naturel ${\displaystyle n}$, on considère l'application ${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ définie par :

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x^{n}\mathrm {e} ^{-x}}{n!}}}$.

a)  Pour ${\displaystyle n>0}$, donner le tableau de variation de ${\displaystyle f_{n}}$, en distinguant les deux cas : ${\displaystyle n}$ pair et ${\displaystyle n}$ impair.

b)  Tracer, dans un repère orthonormal ${\displaystyle \left(O,{\vec {i}},{\vec {j}}\right)}$, les courbes représentatives des fonctions ${\displaystyle f_{2}}$ et ${\displaystyle f_{3}}$ ; on précisera la position relative de ces courbes.

c)  En revenant au cas général, montrer que, si ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 1}$, alors on a :

${\displaystyle 0\leqslant f_{n}(x)\leqslant {\frac {1}{n!\,\mathrm {e} }}}$.

2°  Soit :

${\displaystyle I_{n}(x)=\int _{0}^{x}f_{n}}$.

a)  Calculer ${\displaystyle I_{0}(x)}$.

b)  À l'aide d'une intégration par parties, démontrer la relation de récurrence :

${\displaystyle I_{n}(x)-I_{n-1}(x)=-{\frac {x^{n}}{n!}}\mathrm {e} ^{-x}}$.

c)  Démontrer que l'on a :

${\displaystyle I_{n}(x)=1-\mathrm {e} ^{-x}\left[1+{\frac {x}{1!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right]}$,

c'est-à-dire : ${\displaystyle I_{n}(x)=1-\mathrm {e} ^{-x}\left[\sum _{p=0}^{n}{\frac {x^{p}}{p!}}\right]}$.

Quelle est la limite, pour ${\displaystyle n}$ fixé, de ${\displaystyle I_{n}(x)}$ quand ${\displaystyle x}$ tend vers ${\displaystyle +\infty }$ ?

3°  On pose ${\displaystyle J_{n}=I_{n}(1)}$.

a)  Démontrer que ${\displaystyle 0\leqslant J_{n}\leqslant {\frac {1}{n!\,\mathrm {e} }}}$.

En déduire, en utilisant le calcul de ${\displaystyle I_{n}}$, que l'on a :

${\displaystyle 0\leqslant 1-\mathrm {e} ^{-1}\left[\sum _{p=0}^{n}{\frac {1}{p!}}\right]\leqslant {\frac {1}{n!\,\mathrm {e} }}}$

et

${\displaystyle \sum _{p=0}^{n}{\frac {1}{p!}}\leqslant \mathrm {e} \leqslant \left[\sum _{p=0}^{n}{\frac {1}{p!}}\right]+{\frac {1}{n!}}}$.

b)  Quelle est la limite, quand ${\displaystyle n}$ tend vers ${\displaystyle +\infty }$, de ${\displaystyle \sum _{p=0}^{n}{\frac {1}{p!}}}$ ?

c)  En calculant ${\displaystyle \sum _{p=0}^{5}{\frac {1}{p!}}}$, donner le meilleur encadrement, permis par ce calcul, du nombre ${\displaystyle \mathrm {e} }$.

Corrigé

1. a) ${\displaystyle f'_{n}(x)={\frac {\mathrm {e} ^{-x}x^{n-1}(n-x)}{n!}}}$ (nulle en ${\displaystyle 0}$ — comme ${\displaystyle f_{n}}$ — si ${\displaystyle n>1}$), ${\displaystyle \lim _{+\infty }f=0}$ et ${\displaystyle \lim _{-\infty }f=+\infty }$ si ${\displaystyle n}$ pair, ${\displaystyle -\infty }$ si ${\displaystyle n}$ impair.
   Si ${\displaystyle n}$ est pair, ${\displaystyle f}$ est décroissante jusqu'à ${\displaystyle x=0}$, puis croissante jusqu'à ${\displaystyle n}$, puis décroissante.
   Si ${\displaystyle n}$ est impair, ${\displaystyle f}$ est croissante jusqu'à ${\displaystyle x=n}$, puis décroissante.

   b)
   
   ${\displaystyle f_{3}(x)>f_{2}(x)\Leftrightarrow x>3}$.

   c) Si ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 1}$ alors ${\displaystyle 0=f_{n}(0)\leqslant f_{n}(x)\leqslant f_{n}(1)={\frac {1}{n!\,\mathrm {e} }}}$.

2. a) ${\displaystyle I_{0}(x)=\left[-\mathrm {e} ^{-t}\right]_{0}^{x}=1-\mathrm {e} ^{-x}}$.

   b) ${\displaystyle I_{n}(x)=\left[-{\frac {t^{n}\mathrm {e} ^{-t}}{n!}}\right]_{0}^{x}+I_{n-1}}$.

   c) Récurrence immédiate, et ${\displaystyle \lim _{+\infty }I_{n}=1}$.

3. a) L'encadrement de ${\displaystyle J_{n}}$ s'obtient en intégrant celui de ${\displaystyle f_{n}}$ sur ${\displaystyle \left[0,1\right]}$ obtenu dans la question 1.c.
   D'après la question 2.c, ${\displaystyle J_{n}=1-\mathrm {e} ^{-1}\left[\sum _{p=0}^{n}{\frac {1}{p!}}\right]}$.
   L'encadrement de ${\displaystyle \mathrm {e} }$ est alors immédiat.

   b) D'après le théorème des gendarmes, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }J_{n}=\mathrm {e} }$.

   c) ${\displaystyle 1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}={\frac {326}{120}}}$ donc ${\displaystyle {\frac {326}{120}}\leqslant \mathrm {e} \leqslant {\frac {327}{120}}}$.
   ${\displaystyle {\frac {326}{120}}={\frac {163}{60}}\approx 2{,}717}$ et ${\displaystyle {\frac {327}{120}}={\frac {109}{40}}=2{,}725}$, donc ${\displaystyle \mathrm {e} \approx 2{,}72}$.

Voir les exercices sur : Fonction exponentielle/Annexe/Démonstration que la somme infinie de tous les inverses des k! est égale à e.