Intégration de Riemann/Exercices/Calcul numérique d'une intégrale

Exercice 6-1

Soit $I=4\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}$ . Calculer :

la valeur exacte de $I$ ;
pour chacune des trois méthodes du cours, la valeur approchée et un encadrement de l'erreur pour $n=10$ ;
pour chacune des trois méthodes du cours, comment choisir $n$ pour que l'erreur soit majorée par $10^{-4}$ .

Solution

$I=4\arctan 1=\pi$ .
Soit $f(t)={\frac {4}{1+t^{2}}}$ $f(t)={\frac {4}{1+t^{2}}}$ . Alors, $f'(t)={\frac {8t}{(1+t^{2})^{2}}}$ $f'(t)={\frac {8t}{(1+t^{2})^{2}}}$ et $f''(t)={\frac {8(1-3t^{2})}{(1+t^{2})^{3}}}$ $f''(t)={\frac {8(1-3t^{2})}{(1+t^{2})^{3}}}$ (décroissante sur $[0,1]$ $[0,1]$ ). Pour $n=10$ $n=10$ on a donc :
- $I^{\text{rect}}={\frac {1}{10}}\sum _{i=0}^{9}f(i/10)={\frac {4}{10}}\sum _{i=0}^{9}{\frac {1}{1+i^{2}/10^{2}}}=40\left({\frac {1}{100}}+{\frac {1}{101}}+{\frac {1}{104}}+{\frac {1}{109}}+{\frac {1}{116}}+{\frac {1}{125}}+{\frac {1}{136}}+{\frac {1}{149}}+{\frac {1}{164}}+{\frac {1}{181}}\right)\approx 3{,}24$ et
  $0\leq I-I^{\text{rect}}\leq {\frac {1}{20}}f'(1/{\sqrt {3}})={\frac {3{\sqrt {3}}}{40}}\approx 0{,}13$ ;
- $I^{\text{med}}={\frac {1}{10}}\sum _{i=0}^{9}f\left({\frac {2i+1}{20}}\right)={\frac {4}{10}}\sum _{k=0}^{9}{\frac {1}{1+(2i+1)^{2}/20^{2}}}=160\left({\frac {1}{401}}+{\frac {1}{409}}+{\frac {1}{425}}+\dots +{\frac {1}{761}}\right)\approx 3{,}142$ et
  $|I-I^{\text{med}}|\leq {\frac {1}{2400}}\sup |f''|([0,1])={\frac {f''(0)}{2400}}\approx 0{,}003$ ;
- $I^{\text{trap}}={\frac {1}{10}}\left({\frac {f(0)+f(1)}{2}}+\sum _{i=1}^{9}f(i/10)\right)=20\left({\frac {1}{100}}+{\frac {2}{101}}+{\frac {2}{104}}+\dots +{\frac {2}{181}}+{\frac {1}{200}}\right)\approx 3{,}1399$ et
  $|I-I^{\text{trap}}|\leq {\frac {1}{1200}}\sup |f''|([0,1])\approx 0{,}006$ .
- $10^{-4}\geq {\frac {1}{2n}}f'(1/{\sqrt {3}})={\frac {3{\sqrt {3}}}{4n}}\Leftrightarrow n\geq {\frac {3{\sqrt {3}}.10^{4}}{4}}\approx 12990{,}4$ ;
- $10^{-4}\geq {\frac {1}{24n^{2}}}f''(0)\Leftrightarrow n\geq {\frac {100}{\sqrt {3}}}\approx 57{,}7$ ;
- $10^{-4}\geq {\frac {1}{12n^{2}}}f''(0)\Leftrightarrow n\geq {\frac {200}{\sqrt {3}}}\approx 115{,}5$ .

Exercice 6-2

Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $I:=\int _{0}^{1}\operatorname {e} ^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t$ en utilisant :

une des trois méthodes du cours ;
un développement de l'intégrande en série entière.

Solution

Soit $f(t)=\operatorname {e} ^{-t^{2}}$ .

$f'(t)=-2t\operatorname {e} ^{-t^{2}}$ $f'(t)=-2t\operatorname {e} ^{-t^{2}}$ et $f''(t)=2(2t^{2}-1)\operatorname {e} ^{-t^{2}}$ $f''(t)=2(2t^{2}-1)\operatorname {e} ^{-t^{2}}$ (croissante sur $[0,1]$ $[0,1]$ ).
- $10^{-2}\geq {\frac {1}{2n}}\max |f'|([0,1])={\frac {1}{2n}}|f'|(1/{\sqrt {2}})={\frac {1}{2n}}{\sqrt {\frac {2}{\mathrm {e} }}}\Leftrightarrow n\geq {\frac {100}{\sqrt {2\mathrm {e} }}}\Leftrightarrow n\geq 43$ et une valeur approchée de $I$ à $10^{-2}$ près par excès est $I^{\text{rect}}={\frac {1}{43}}\sum _{i=0}^{42}f(i/43)\approx 0{,}754$ ;
- $10^{-2}\geq {\frac {1}{24n^{2}}}\max |f''|([0,1])={\frac {|f''(0)|}{24n^{2}}}\Leftrightarrow n\geq {\frac {10}{\sqrt {12}}}\approx 2{,}8$ et $I^{\text{med}}={\frac {1}{3}}(f(1/6)+f(1/2)+f(5/6))\approx 0{,}750$ ;
- $10^{-2}\geq {\frac {1}{12n^{2}}}\max |f''|([0,1])={\frac {|f''(0)|}{12n^{2}}}\Leftrightarrow n\geq {\frac {10}{\sqrt {6}}}\approx 4{,}1$ et $I^{\text{trap}}={\frac {1}{5}}\left({\frac {f(0)+f(1)}{2}}+\sum _{i=1}^{4}f(i/5)\right)\approx 0{,}744$ .
$f(t)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {(-1)^{n}t^{2n}}{n!}}$ donc $I=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {(-1)^{n}}{n!(2n+1)}}$ .
$n!(2n+1)\geq 100\Leftrightarrow n\geq 4$ et une valeur approchée de $I$ à $10^{-2}$ près par défaut est $\sum _{n=0}^{3}{\frac {(-1)^{n}}{n!(2n+1)}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{42}}\approx 0{,}743$ .

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