< Intégration de Riemann < Devoir
![](../../../I/Bulle_cat%C3%A9no%C3%AFde.png.webp)
Dans l'espace euclidien , on cherche la forme d'un film de savon qui s'appuie sur les deux cercles parallèles de rayon , d'axe , et centrés en . On admet que la surface cherchée, si elle existe, a une symétrie de révolution. Elle est alors décrite par sa trace dans le demi-plan . On admet de plus que est de classe C1. Le film a la propriété de minimiser son aire, égale à avec :
- .
- Soit une fonction C1 sur qui s'annule aux extrémités. Pour , on note . Justifier que est dérivable en puis, que .
- Calculer . On pose . Montrer que .
- En déduire que .
- Vérifier que les fonctions de la forme sont solutions de l'équation différentielle sur qui traduit l'égalité précédente.
- Quelle condition doit satisfaire pour que soit effectivement solution du problème physique ?
- Quelle est l'allure du graphe de ? (On pourra étudier le signe de .)
- On admet que si existe, elle est nécessairement de la forme . Existe-t-il toujours un film de savon qui s'appuie sur les deux cercles ?
Solution
- avec . Puisque et sont continues sur , est de classe C1 sur (d'après le théorème de dérivation par rapport au paramètre d'une intégrale sur un compact). Et puisque a un minimum en , .
- et .
Comme , une intégration par parties permet de remplacer, dans l'intégrale, par , ce qui donne l'expression voulue pour . - La fonction est continue et pour toute fonction de classe C1 sur telle que . Par conséquent, .
- donc , donc .
- , pour que le film s'appuie bien sur les deux cercles.
- et . La fonction est convexe sur et de limite en (asymptote verticale) et en (asymptote ). Son minimum est en , où est l'unique réel positif tel que . La valeur de ce minimum est .
- Il n'y en a pas si (car il n'existe alors pas de réel tel que ). Il y en a 1 si , et 2 si .
Cet article est issu de Wikiversity. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Partage dans les Mêmes. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.