Intégration de Riemann/Centre d'inertie

Formule

Théorème

Soit $f$ une fonction dérivable et positive sur $[a,b]$ ( $a\leq b$ ).

Soit la plaque homogène correspondant à l’ensemble des points vérifiant :

a\leq x\leq b

;

0\leq y\leq f(x)

.

Alors les coordonnées $X_{G}$ et $Y_{G}$ du centre d'inertie G sont :

X_{G}={\frac {\int _{a}^{b}xf(x)\mathrm {d} x}{\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}}

et

Y_{G}={\frac {1}{2}}{\frac {\int _{a}^{b}[f(x)]^{2}\mathrm {d} x}{\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}}

Exemples

Exemples faciles

Déterminer les coordonnées du centre d'inertie de la plaque limitée par la courbe d'équation $y=x^{2}$ pour $x\in [0;1]$ et l'axe des abscisses.
Déterminer les coordonnées du centre d'inertie de la plaque limitée par la courbe d'équation $y={\sqrt {x}}$ pour $x\in [0;1]$ et l'axe des abscisses.

Exemple plus difficile

Problème : Déterminer les coordonnées du centre d'inertie de la plaque homogène représentée par la figure ci-dessous.

1) Exprimer l'arc de cercle comme le graphe d'une fonction de x.

Solution

L'arc de cercle correspond au cercle d'équation $x^{2}+y^{2}=2^{2}$ . Comme on est dans le demi-plan $y>0$ , ce quart de cercle est donc d'équation : $y={\sqrt {4-x^{2}}}$ .

2) Calculer les coordonnées du centre d'inertie du quart de disque grâce aux formules.

Solution

Il s'agit de calculer les intégrales $\int _{0}^{2}{\sqrt {4-x^{2}}}\mathrm {d} x$ , $\int _{0}^{2}x{\sqrt {4-x^{2}}}\mathrm {d} x$ , $\int _{0}^{2}(4-x^{2})\mathrm {d} x$

En voyant l'intégrale $\int _{0}^{2}{\sqrt {4-x^{2}}}\mathrm {d} x$ comme l'aire d'un quart de disque, il vient : $\int _{0}^{2}{\sqrt {4-x^{2}}}\mathrm {d} x={\frac {1}{4}}\pi 2^{2}=\pi$ .

Par les règles usuelles, on a de plus $\int _{0}^{2}(4-x^{2})\mathrm {d} x=\left[4x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{2}=8-{\frac {8}{3}}={\frac {16}{3}}$ .

Pour la deuxième intégrale, en posant $t={\sqrt {4-x^{2}}}$ , il vient $\int _{0}^{2}x{\sqrt {4-x^{2}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{2}t^{2}\mathrm {d} t={\frac {8}{3}}$

Ainsi, on a $X_{D}={\frac {\frac {8}{3}}{\pi }}={\frac {8}{3\pi }}$ , $Y_{D}={\frac {1}{2}}{\frac {\frac {16}{3}}{\pi }}={\frac {8}{3\pi }}$ .

3) En utilisant l'associativité du barycentre, en déduire le centre de gravité de la plaque.

Solution

Le barycentre du carré se détermine géométriquement : $X_{C}=-1,Y_{C}=1$

On a donc G barycentre de $(D,\pi ),(C,4)$ , dont on tire :

$X_{G}={\frac {\pi X_{D}+4X_{C}}{\pi +4}}=-{\frac {4}{12+3\pi }},\quad Y_{G}={\frac {\pi Y_{D}+4Y_{C}}{\pi +4}}={\frac {20}{12+3\pi }}$ .

Cet article est issu de Wikiversity. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Partage dans les Mêmes. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.