Nous ne traiterons ici que des trois méthodes d'approximation les plus simples : rectangles, points médians et trapèzes. Dans ces trois méthodes, on subdivise l'intervalle d'intégration en sous-intervalles (), avec . On approxime l'intégrale de la fonction sur chacun de ces sous-intervalles, puis on fait la somme.
Méthode des rectangles
On remplace l'arc de courbe par un segment horizontal situé à la hauteur de l'extrémité gauche de cet arc (on a bien sûr une méthode analogue en prenant l'extrémité droite).
Valeur approchée
On choisit ainsi d'approximer par donc
Estimation de l'erreur
Si est C1 alors pour un certain donc
Soit
- .
Pour tout , d'après le théorème des accroissements finis,
donc en intégrant :
- .
Méthode des points médians
Le point du graphe par lequel on fait passer un segment horizontal (qui approxime l'arc de courbe) n'a plus cette fois pour abscisse ou comme dans la méthode des rectangles (à gauche ou à droite) mais la moyenne (arithmétique) des deux.
Valeur approchée
donc
Estimation de l'erreur
Si est C2 alors pour un certain donc
Soient
et
- .
Pour tout , d'après la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 2,
donc en intégrant :
- .
Méthode des trapèzes
On n'approxime plus l'arc de courbe par un segment horizontal comme dans la méthode des rectangles ou celle des points médians, mais par la corde de cet arc.
Valeur approchée
donc
Estimation de l'erreur
Si est C2 alors pour un certain donc
Soit
- .
Pour tout , d'après la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 2,
donc en intégrant :
- .
Lien externe
Approximation des intégrales (PCSI2, Lycée Corneille, 2010-2011)