Le chapitre précédent a permis de poser le contexte dans lequel nous allons pouvoir définir, dans ce nouveau chapitre, un nouveau concept mathématique que l'on appelle probabilité.

Notion de probabilité

Il est courant d'apprécier ses chances de réussite dans une expérience aléatoire en donnant une estimation sous forme de nombre. Si on tire une carte au hasard, on dira par exemple : « J'ai une chance sur deux de tirer une carte noire ».

Cela signifie qu'à l'événement : « tirer une carte noire », on associe le nombre ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$.

Définir une probabilité consiste donc à associer un nombre à chaque événement.

Si ${\displaystyle A}$ est un événement et si ${\displaystyle q}$ est le nombre associé, on notera cette association : ${\displaystyle p(A)=q}$. On remarque que cette notation est similaire à celle utilisée pour les fonctions.

Pour que cette association ait un sens et nous permette de construire une théorie susceptible de nous rendre service, les mathématiciens ont montré que cette association doit obéir aux trois règles fondamentales suivantes :

• Première règle : À tout événement est associé un nombre positif.
• Deuxième règle : À l'événement certain, on associe le nombre 1. (on écrira ${\displaystyle p(\Omega )=1}$)
• Troisième règle : Si ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont des événements incompatibles, on a : ${\displaystyle p(A\cup B)=p(A)+p(B)}$.

Conséquences immédiates

En effet, ${\displaystyle \Omega }$ peut s'écrire comme réunion de tous les événements élémentaires qui le composent :

${\displaystyle \Omega =a_{1}\cup a_{2}\cup a_{3}\cup \cdots \cup a_{n}}$

Comme les événements élémentaires sont des événements incompatibles, on peut appliquer la troisième règle :

${\displaystyle p(\Omega )=p(a_{1})+p(a_{2})+p(a_{3})+\cdots +p(a_{n})}$

et comme d'après la règle deux, on a ${\displaystyle p(\Omega )=1}$, on a :

${\displaystyle p(a_{1})+p(a_{2})+p(a_{3})+\cdots p(a_{n})=1}$

En effet, les événements ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle {\bar {A}}}$ sont incompatibles et tels que :

${\displaystyle A\cup {\bar {A}}=\Omega }$

et donc d'après la troisième règle :

${\displaystyle p(A)+p({\bar {A}})=p(A\cup {\bar {A}})=p(\Omega )=1}$

d'où l'on déduit :

${\displaystyle p\left({\bar {A}}\right)=1-p\left(A\right)}$.

En effet, la première inégalité ${\displaystyle 0\leqslant p\left(A\right)}$ découle directement de la première règle.

Dans la deuxième conséquence immédiate ci-dessus, nous avons vu que :

${\displaystyle p\left({\bar {A}}\right)=1-p\left(A\right)}$

mais comme ${\displaystyle 0\leqslant p\left({\bar {A}}\right)}$ d'après la première règle, on en déduit :

${\displaystyle 0\leqslant 1-p\left(A\right)}$

qui s'écrit aussi :

${\displaystyle p\left(A\right)\leqslant 1}$

En effet si dans la formule :

${\displaystyle p\left({\bar {A}}\right)=1-p\left(A\right)}$.

on remplace ${\displaystyle A}$ par ${\displaystyle \Omega }$, on obtient :

${\displaystyle p\left({\bar {\Omega }}\right)=1-p\left(\Omega \right)}$.

et comme ${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$ est événement impossible ${\displaystyle \varnothing }$, on obtient :

${\displaystyle p\left(\varnothing \right)=1-p\left(\Omega \right)=1-1=0}$

Exemples de définition de probabilité

La définition des probabilités dans des cas concrets sort du cadre des mathématiques. Les mathématiques n'imposent rien d'autre que les trois règles fondamentales précédemment citées. On pourrait donc associer n'importe quel nombre positif aux événements élémentaires pourvu que la somme de ces nombres soit égale à un. Toutefois, on sent bien que le choix de ces nombres doit se baser sur une certaine logique si l'on veut que les calculs ultérieurs soient utiles.

Deux critères principaux vont nous guider dans le choix de ces nombres.