Initialisation

Montrons que la propriété est vraie pour ${\displaystyle n=0}$.

${\displaystyle A+2^{0}B=A+\mathrm {I} _{m}-A=\mathrm {I} _{m}=C^{0}}$.

Hérédité

Supposons que la propriété est vraie pour ${\displaystyle n}$ et montrons qu'alors, elle est vraie pour ${\displaystyle n+1}$.

On a :

${\displaystyle {\begin{aligned}C^{n+1}&=C^{n}\times C\\&=\left(A+2^{n}B\right)\times C\\&=A\times C+2^{n}B\times C.\end{aligned}}}$

Or

${\displaystyle {\begin{cases}A\times C=A\times (2\mathrm {I} _{m}-A)=2A-A^{2}=2A-A=A\\B\times C=(\mathrm {I} _{m}-A)\times (2\mathrm {I} _{m}-A)=2\mathrm {I} _{m}-3A+A^{2}=2\mathrm {I} _{m}-2A=2B\end{cases}}}$

ce qui permet de conclure :

${\displaystyle {\begin{aligned}C^{n+1}&=A\times C+2^{n}B\times C\\&=A+2^{n}\times 2B\\&=A+2^{n+1}B.\end{aligned}}}$

1°  Supposons qu'il existe deux valeurs ${\displaystyle y_{1}}$ et ${\displaystyle y_{2}}$ qui s'expriment en fonction de deux autres valeurs ${\displaystyle x_{1}}$ et ${\displaystyle x_{2}}$ selon la relation matricielle :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}}$

Essayons alors d'exprimer ${\displaystyle x_{1}}$ et ${\displaystyle x_{2}}$ en fonction de ${\displaystyle y_{1}}$ et ${\displaystyle y_{2}}$. Pour cela, nous considérerons le système associé :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x_{1}+2x_{2}=y_{1}\\2x_{1}+3x_{2}=y_{2}\end{array}}\right.}$

On montre aisément que ce système est équivalent au système

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x_{1}=-3y_{1}+2y_{2}\\x_{2}=2y_{1}-y_{2}\end{array}}\right.}$

qui s'écrit matriciellement :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}}$

On a donc :

${\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}}}$

2°  ${\displaystyle P^{-1}\times M\times P={\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}9&-4\\12&-5\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}}$

3°  De la relation ${\displaystyle P^{-1}\times M\times P={\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}}$ on déduit en multipliant les deux membres par ${\displaystyle P}$ à gauche et par ${\displaystyle P^{-1}}$ à droite :

${\displaystyle M=P\times {\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}\times P^{-1}}$

qui donne :

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{n}&=P\times {\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}^{n}\times P^{-1}\\&=P\times {\begin{pmatrix}1&0\\0&3^{n}\end{pmatrix}}\times P^{-1}\\&={\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&0\\0&3^{n}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&2\times 3^{n}\\2&3^{n+1}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}4\times 3^{n}-3&2(1-3^{n})\\2(3^{n+1}-3)&4-3^{n+1}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

1°  Pour essayer de se donner une idée, commençons par calculer les premières puissances de ${\displaystyle M}$ :

${\displaystyle M^{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\0&0&-1\\-i&0&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle M^{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Nous voyons que ${\displaystyle M^{3}=I_{3}}$. On peut donc écrire :

${\displaystyle M^{1001}=M^{3\times 333+2}=\left(M^{3}\right)^{333}\times M^{2}=I_{3}^{333}\times M^{2}=I_{3}\times M^{2}=M^{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\0&0&-1\\-i&0&0\end{pmatrix}}}$

2°  Toujours de ${\displaystyle M^{3}=I_{3}}$, on peut écrire :

${\displaystyle M\times M^{2}=I_{3}}$

Ce qui montre que :

${\displaystyle M^{-1}=M^{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\0&0&-1\\-i&0&0\end{pmatrix}}}$

Puisque ${\displaystyle N}$ est nilpotente, c'est une matrice carrée et il existe un entier ${\displaystyle k}$ tel que ${\displaystyle N^{k}=0_{n}}$ (où ${\displaystyle n}$ désigne l'ordre de ${\displaystyle N}$).

1°  Si ${\displaystyle N}$ était diagonalisable, il existerait une matrice diagonale ${\displaystyle D}$ et une matrice inversible ${\displaystyle P}$ telles que :

${\displaystyle N=P\times D\times P^{-1}}$

En élevant les deux membres de cette relation à la puissance ${\displaystyle k}$, on obtient :

${\displaystyle N^{k}=P\times D^{k}\times P^{-1}}$

Soit :

${\displaystyle 0_{n}=P\times D^{k}\times P^{-1}}$

En multipliant les deux membres, à gauche par ${\displaystyle P^{-1}}$ et à droite par ${\displaystyle P}$, on obtient :

${\displaystyle D^{k}=0_{n}}$

Ce qui n'est possible que si ${\displaystyle D=0_{n}}$.

Mais si ${\displaystyle D=0_{n}}$, on aurait :

${\displaystyle N=P\times D\times P^{-1}=P\times 0_{n}\times P^{-1}=0_{n}}$

Contrairement à l'hypothèse.

2°  Si ${\displaystyle N}$ était inversible alors ${\displaystyle N^{k}}$ le serait aussi, ce qui est absurde car ${\displaystyle 0_{n}}$ n'est pas inversible.