Initiation aux matrices/Exercices/Opérations entre matrices

Exercice 1-1

Effectuer, si cela est possible, le produit des matrices suivantes :

1° ${\begin{pmatrix}1&3&2\\0&-1&2\\2&-1&1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2&-3&-1\\1&0&2\\-2&-1&2\end{pmatrix}}$

2° ${\begin{pmatrix}2&-1&3\\1&0&2\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&3\\2&1\\0&-1\end{pmatrix}}$

3° ${\begin{pmatrix}1&3\\2&1\\0&-1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2&-1&3\\1&0&2\end{pmatrix}}$

Solution

1° ${\begin{pmatrix}1&3&2\\0&-1&2\\2&-1&1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2&-3&-1\\1&0&2\\-2&-1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-5&9\\-5&-2&2\\1&-7&-2\end{pmatrix}}$

2° ${\begin{pmatrix}2&-1&3\\1&0&2\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&3\\2&1\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2\\1&1\end{pmatrix}}$

3° ${\begin{pmatrix}1&3\\2&1\\0&-1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2&-1&3\\1&0&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&-1&9\\5&-2&8\\-1&0&-2\end{pmatrix}}$

Exercice 1-2

Soit $M$ , la matrice définie par :

$M={\begin{pmatrix}1&0&-2\\3&-1&1\\2&1&0\end{pmatrix}}$ .

Calculer l'expression matricielle suivante :

$(M+3I_{3})(2M-I_{3})-M^{2}$

Solution

${\begin{aligned}(M+3I_{3})(2M-I_{3})-M^{2}&=\left[{\begin{pmatrix}1&0&-2\\3&-1&1\\2&1&0\end{pmatrix}}+3\times {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\right]\left[2\times {\begin{pmatrix}1&0&-2\\3&-1&1\\2&1&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\right]-{\begin{pmatrix}1&0&-2\\3&-1&1\\2&1&0\end{pmatrix}}^{2}\\&={\begin{pmatrix}4&0&-2\\3&2&1\\2&1&3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&0&-4\\6&-3&2\\4&2&-1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}-3&-2&-2\\2&2&-7\\5&-1&-3\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-4&-4&-14\\19&-4&-9\\20&3&-9\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}-3&-2&-2\\2&2&-7\\5&-1&-3\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-1&-2&-12\\17&-6&-2\\15&4&-6\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Exercice 1-3

Soit l'équation matricielle :

$X^{2}-3X+2I_{2}=0_{2}$

1° Parmi les trois matrices :

\quad A={\begin{pmatrix}3&-1\\2&0\end{pmatrix}}\qquad \qquad B={\begin{pmatrix}-2&2\\-6&5\end{pmatrix}}\qquad \qquad C={\begin{pmatrix}-4&10\\-3&7\end{pmatrix}}

lesquelles sont racines de l'équation matricielle ?

2° Que remarque-t-on ?

Solution

1° On a :

A^{2}-3A+2I_{2}={\begin{pmatrix}3&-1\\2&0\end{pmatrix}}^{2}-3\times {\begin{pmatrix}3&-1\\2&0\end{pmatrix}}+2\times {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}

B^{2}-3B+2I_{2}={\begin{pmatrix}-2&2\\-6&5\end{pmatrix}}^{2}-3\times {\begin{pmatrix}-2&2\\-6&5\end{pmatrix}}+2\times {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}

C^{2}-3C+2I_{2}={\begin{pmatrix}-4&10\\-3&7\end{pmatrix}}^{2}-3{\begin{pmatrix}-4&10\\-3&7\end{pmatrix}}+2\times {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}

Les matrices

A

,

B

et

C

sont toutes les trois racines de l'équation matricielle.

2° On remarque que l'équation matricielle :

X^{2}-3X+2I_{2}=0_{2}

admet au moins trois racines bien qu'étant une équation du second degré si on la considérait comme une équation numérique.

Nous savons que les équations polynomiales numériques du second degré admettent au maximum deux racines.

Nous voyons que cette règle n'est plus valable pour les équations matricielles.

Exercice 1-4

Soit $A={\begin{pmatrix}6&6&-4&-7\\4&4&-2&-5\\3&3&-1&-4\\6&6&-4&-7\end{pmatrix}}$ . Calculer $A\times A$ .

Solution

$A\times A=A$ .

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