Supposons qu'il existe trois valeurs ${\displaystyle y_{1}}$, ${\displaystyle y_{2}}$ et ${\displaystyle y_{3}}$ qui s'expriment en fonction de trois autres valeurs ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ et ${\displaystyle x_{3}}$ selon la relation matricielle :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-1&2\\-1&2&-1\\-1&1&-1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}}$

Essayons alors d'exprimer ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ et ${\displaystyle x_{3}}$ en fonction de ${\displaystyle y_{1}}$, ${\displaystyle y_{2}}$ et ${\displaystyle y_{3}}$. Pour cela, nous considérerons le système associé :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x_{1}-x_{2}+2x_{3}=y_{1}\\-x_{1}+2x_{2}-x_{3}=y_{2}\\-x_{1}+x_{2}-x_{3}=y_{3}\end{array}}\right.}$

En ajoutant membre à membre la troisième équation à la première et en la soustrayant de la seconde, on obtient :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x_{3}=y_{1}+y_{3}\\x_{2}=y_{2}-y_{3}\\-x_{1}+x_{2}-x_{3}=y_{3}\end{array}}\right.}$

En reportant les valeurs de ${\displaystyle x_{2}}$ et ${\displaystyle x_{3}}$, trouvées dans les deux premières équations dans la troisième, on obtient :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x_{1}=-y_{1}+y_{2}-3y_{3}\\x_{2}=y_{2}-y_{3}\\x_{3}=y_{1}+y_{3}\end{array}}\right.}$

qui s'écrit matriciellement :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&1&-3\\0&1&-1\\1&0&1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}}$

On a donc :

${\displaystyle M^{-1}={\begin{pmatrix}-1&1&-3\\0&1&-1\\1&0&1\end{pmatrix}}}$

1°  On trouve :

${\displaystyle M^{2}={\begin{pmatrix}3&0&-2\\4&1&-4\\2&0&-1\end{pmatrix}}}$

et

${\displaystyle M^{3}=M^{2}\times M={\begin{pmatrix}3&0&-2\\4&1&-4\\2&0&-1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-4&-2&7\\-4&-3&8\\-3&-2&6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-6&-2&9\\-8&-3&12\\-5&-2&8\end{pmatrix}}}$

On peut alors calculer :

${\displaystyle M^{3}+M^{2}-M={\begin{pmatrix}-6&-2&9\\-8&-3&12\\-5&-2&8\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3&0&-2\\4&1&-4\\2&0&-1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}-4&-2&7\\-4&-3&8\\-3&-2&6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

2°  Nous avons obtenu précédemment :

${\displaystyle M^{3}+M^{2}-M=I_{3}}$

En mettant ${\displaystyle M}$ en facteur, nous avons :

${\displaystyle M\times \left(M^{2}+M-I_{3}\right)=I_{3}}$

Ce qui nous montre que :

${\displaystyle M^{-1}=M^{2}+M-I_{3}={\begin{pmatrix}3&0&-2\\4&1&-4\\2&0&-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-4&-2&7\\-4&-3&8\\-3&-2&6\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&-2&5\\0&-3&4\\-1&-2&4\end{pmatrix}}}$

1°  Ève perçoit :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&-2&5&7\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-9&2&-4&2&-10\\-4&1&0&2&-2\\-10&2&-3&2&-10\\-6&2&-4&1&-8\\10&-2&4&-2&11\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}39&-3&10&-5&41\end{pmatrix}}}$

2°  Alice reçoit :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}39&-3&10&-5&41\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-9&2&-4&2&-10\\-4&1&0&2&-2\\-10&2&-3&2&-10\\-6&2&-4&1&-8\\10&-2&4&-2&11\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&-2&5&7\end{pmatrix}}}$

3°  On constate qu'Alice a bien reçu ce que Bob lui a envoyé alors que Ève a vu passer autre chose qu'elle ne peut pas décrypter étant donné qu'elle ne connait pas la matrice ${\displaystyle M}$.

Pour s'assurer qu'Alice recevra bien ce que lui transmet Bob dans tous les cas, faisons le calcul en supposant que Bob lui envoie la série de cinq nombres ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c&d&e\end{pmatrix}}}$.

Ève percevra :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c&d&e\end{pmatrix}}\times M}$

et Alice recevra :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c&d&e\end{pmatrix}}\times M\times M}$.

Mais on constate que :

${\displaystyle M\times M=\mathrm {I} _{5}}$

et Alice recevra :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c&d&e\end{pmatrix}}\times \mathrm {I} _{5}={\begin{pmatrix}a&b&c&d&e\end{pmatrix}}}$.

(On dira que l'application ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c&d&e\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a&b&c&d&e\end{pmatrix}}\times M}$ est une involution)

4°  On a vu à la question précédente que :

${\displaystyle M\times M=\mathrm {I} _{5}}$.

On sait que, par définition, la matrice ${\displaystyle M}$ est inversible, d'inverse ${\displaystyle N}$, si et seulement si :

${\displaystyle M\times N=N\times M=\mathrm {I} _{5}}$.

On en déduit que ${\displaystyle M}$ est inversible et égale à son inverse.

5°  Soit ${\displaystyle P}$ une matrice d'ordre 5 inversible d'inverse noté ${\displaystyle P^{-1}}$.

Définissons une nouvelle matrice ${\displaystyle M'}$ par la relation :

${\displaystyle M'=P\times M\times P^{-1}}$

Nous avons alors :

${\displaystyle {\begin{aligned}M'\times M'&=P\times M\times P^{-1}\times P\times M\times P^{-1}\\&=P\times M\times I_{5}\times M\times P^{-1}\\&=P\times M\times M\times P^{-1}\\&=P\times I_{5}\times P^{-1}\\&=P\times P^{-1}\\&=I_{5}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle M'}$ est aussi égale à son inverse, donc pourra remplacer ${\displaystyle M}$.

On pourrait aussi partir de matrices de la forme :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\pm 1&0&0&0&0\\0&\pm 1&0&0&0\\0&0&\pm 1&0&0\\0&0&0&\pm 1&0\\0&0&0&0&\pm 1\end{pmatrix}}}$

qui sont visiblement égales à leur inverse et leur appliquer la transformation vue avec la matrice ${\displaystyle P}$.

Il n'est donc pas difficile de trouver d'autres matrices égales à leur inverse.

1. Si ${\displaystyle A}$ était inversible, on pourrait multiplier à gauche par ${\displaystyle A^{-1}}$ les deux membres de l'égalité ${\displaystyle A^{2}=A}$, ainsi :

   ${\displaystyle A^{-1}\times A^{2}=A^{-1}\times A}$,

   ce qui donnerait :

   ${\displaystyle A=\mathrm {I} _{n}}$.

2. Posons ${\displaystyle B=\mathrm {I} _{n}-A}$. Alors,

   ${\displaystyle B^{2}=(\mathrm {I} _{n}-A)^{2}=\mathrm {I} _{n}-2A+A^{2}=\mathrm {I} _{n}-2A+A=\mathrm {I} _{n}-A=B}$

   donc d'après la question précédente, si ${\displaystyle B\neq \mathrm {I} _{n}}$ alors ${\displaystyle B}$ n'est pas inversible.

   Autrement dit : si ${\displaystyle A\neq 0_{n}}$ alors ${\displaystyle \mathrm {I} _{n}-A}$ n'est pas inversible.