On pose :

${\displaystyle S_{n}}$ l'événement « Au bout de ${\displaystyle n}$ jours après le 5 mars, Hugo est sage ».

${\displaystyle M_{n}}$ l'événement « Au bout de ${\displaystyle n}$ jours après le 5 mars, Hugo est méchant ».

${\displaystyle P_{n}}$ l'événement « Au bout de ${\displaystyle n}$ jours après le 5 mars, Hugo est puni ».

Soit ${\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, ${\displaystyle (m_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, ${\displaystyle (p_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ trois suites indiquant les probabilités que Hugo soit respectivement sage, méchant ou puni ${\displaystyle n}$ jours après le 5 mars.

nous voyons que ${\displaystyle n-1}$ jour après le 5 mars, Hugo est soit sage, soit méchant soit puni et, par conséquent, un et un seul des événements ${\displaystyle S_{n-1}}$, ${\displaystyle M_{n-1}}$ ou ${\displaystyle P_{n-1}}$ est réalisé. ${\displaystyle S_{n-1}}$, ${\displaystyle M_{n-1}}$ et ${\displaystyle P_{n-1}}$ constituent donc un système complet d'événements. On peut donc appliquer la formule des probabilités totales. On a donc :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}p(S_{n})=p(S_{n-1})\times p_{S_{n-1}}(S_{n})+p(M_{n-1})\times p_{M_{n-1}}(S_{n})+p(P_{n-1})\times p_{P_{n-1}}(S_{n})\\p(M_{n})=p(S_{n-1})\times p_{S_{n-1}}(M_{n})+p(M_{n-1})\times p_{M_{n-1}}(M_{n})+p(P_{n-1})\times p_{P_{n-1}}(M_{n})\\p(P_{n})=p(S_{n-1})\times p_{S_{n-1}}(P_{n})+p(M_{n-1})\times p_{M_{n-1}}(P_{n})+p(P_{n-1})\times p_{P_{n-1}}(P_{n})\end{array}}\right.}$

En utilisant les probabilités données dans l'énoncé, on obtient :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}s_{n}=s_{n-1}\times 0,5+m_{n-1}\times 0+p_{n-1}\times 0,9\\m_{n}=s_{n-1}\times 0,5+m_{n-1}\times 0+p_{n-1}\times 0,1\\p_{n}=s_{n-1}\times 0+m_{n-1}\times 1+p_{n-1}\times 0\end{array}}\right.}$

Que l'on peut traduire matriciellement par :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}s_{n}\\m_{n}\\p_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5&0&0,9\\0,5&0&0,1\\0&1&0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}s_{n-1}\\m_{n-1}\\p_{n-1}\end{pmatrix}}}$

d'où l'on déduit :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}s_{n}\\m_{n}\\p_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5&0&0,9\\0,5&0&0,1\\0&1&0\end{pmatrix}}^{n}\times {\begin{pmatrix}s_{0}\\m_{0}\\p_{0}\end{pmatrix}}}$

Comme le 9 mars est 4 jours après le 5 mars, nous devons élever la matrice à la puissance 4. On a :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0,5&0&0,9\\0,5&0&0,1\\0&1&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}0,5&0&0,9\\0,5&0&0,1\\0&1&0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}0,5&0&0,9\\0,5&0&0,1\\0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,25&0,9&0,45\\0,25&0,1&0,45\\0,5&0&0,1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0,5&0&0,9\\0,5&0&0,1\\0&1&0\end{pmatrix}}^{4}={\begin{pmatrix}0,5&0&0,9\\0,5&0&0,1\\0&1&0\end{pmatrix}}^{2}\times {\begin{pmatrix}0,5&0&0,9\\0,5&0&0,1\\0&1&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}0,25&0,9&0,45\\0,25&0,1&0,45\\0,5&0&0,1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}0,25&0,9&0,45\\0,25&0,1&0,45\\0,5&0&0,1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5125&0,315&0,5625\\0,3125&0,235&0,2025\\0,175&0,45&0,235\end{pmatrix}}}$

1°  Si Hugo est sage le 5 mars, on a:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}s_{4}\\m_{4}\\p_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5125&0,315&0,5625\\0,3125&0,235&0,2025\\0,175&0,45&0,235\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}s_{0}\\m_{0}\\p_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5125&0,315&0,5625\\0,3125&0,235&0,2025\\0,175&0,45&0,235\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5125\\0,3125\\0,175\end{pmatrix}}}$

la probabilité qu'il soit sage le 9 mars est donc de 0,5125.

2°  Si Hugo est méchant le 5 mars, on a:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}s_{4}\\m_{4}\\p_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5125&0,315&0,5625\\0,3125&0,235&0,2025\\0,175&0,45&0,235\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}s_{0}\\m_{0}\\p_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5125&0,315&0,5625\\0,3125&0,235&0,2025\\0,175&0,45&0,235\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,315\\0,235\\0,45\end{pmatrix}}}$

la probabilité qu'il soit sage le 9 mars est donc de 0,315.

3°  Si Hugo est puni le 5 mars, on a:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}s_{4}\\m_{4}\\p_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5125&0,315&0,5625\\0,3125&0,235&0,2025\\0,175&0,45&0,235\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}s_{0}\\m_{0}\\p_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5125&0,315&0,5625\\0,3125&0,235&0,2025\\0,175&0,45&0,235\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,5625\\0,2025\\0,235\end{pmatrix}}}$

la probabilité qu'il soit sage le 9 mars est donc de 0,5625.

1°  On trouve :

a)  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&-{\frac {3}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

b)  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&-{\frac {3}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}9&3\\1&7\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&-{\frac {9}{2}}\\{\frac {5}{2}}&{\frac {5}{2}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6&0\\0&10\end{pmatrix}}}$

2°  On pose :

${\displaystyle P_{n}}$ l'événement « Léa est présente le jour ${\displaystyle n}$ ».

${\displaystyle A_{n}}$ l'événement « Léa est absente le jour ${\displaystyle n}$ ».

Le point de départ, c'est-à-dire le jour ${\displaystyle 0}$ n'est pas précisé car il n'est pas important pour résoudre cet exercice.

Soit ${\displaystyle (p_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ et ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ deux suites indiquant les probabilités que Léa soit respectivement présente ou absente le jour ${\displaystyle n}$.

nous voyons qu'au jour ${\displaystyle n-1}$, Léa est soit présente, soit absente et, par conséquent, un et un seul des événements ${\displaystyle P_{n-1}}$ ou ${\displaystyle A_{n-1}}$ est réalisée. ${\displaystyle P_{n-1}}$ et ${\displaystyle A_{n-1}}$ constituent donc un système complet d'événements. On peut donc appliquer la formule des probabilités totales. On a donc :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}p(P_{n})=p(P_{n-1})\times p_{P_{n-1}}(P_{n})+p(A_{n-1})\times p_{A_{n-1}}(P_{n})\\p(A_{n})=p(P_{n-1})\times p_{P_{n-1}}(A_{n})+p(A_{n-1})\times p_{A_{n-1}}(A_{n})\end{array}}\right.}$

En utilisant les probabilités données dans l'énoncé, on obtient :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}p_{n}=p_{n-1}\times 0,9+a_{n-1}\times 0,3\\a_{n}=p_{n-1}\times 0,1+a_{n-1}\times 0,7\end{array}}\right.}$

Que l'on peut traduire matriciellement par :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{n}\\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,9&0,3\\0,1&0,7\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}p_{n-1}\\a_{n-1}\end{pmatrix}}}$

d'où l'on déduit :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{n}\\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0,9&0,3\\0,1&0,7\end{pmatrix}}^{n}\times {\begin{pmatrix}p_{0}\\a_{0}\end{pmatrix}}={\frac {1}{10^{n}}}{\begin{pmatrix}9&3\\1&7\end{pmatrix}}^{n}\times {\begin{pmatrix}p_{0}\\a_{0}\end{pmatrix}}}$

Si on pose :

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}}}$

on voit d’après la question a) que :

${\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&-{\frac {3}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}}$

D'après la question a), on a aussi :

${\displaystyle P^{-1}\times {\begin{pmatrix}9&3\\1&7\end{pmatrix}}\times P={\begin{pmatrix}6&0\\0&10\end{pmatrix}}}$

En multipliant les deux membres de cette relation par ${\displaystyle P}$ à gauche et par ${\displaystyle P^{-1}}$ à droite, on trouve :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}9&3\\1&7\end{pmatrix}}=P\times {\begin{pmatrix}6&0\\0&10\end{pmatrix}}\times P^{-1}}$

En reportant ceci dans :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{n}\\a_{n}\end{pmatrix}}={\frac {1}{10^{n}}}{\begin{pmatrix}9&3\\1&7\end{pmatrix}}^{n}\times {\begin{pmatrix}p_{0}\\a_{0}\end{pmatrix}}}$

on obtient :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}p_{n}\\a_{n}\end{pmatrix}}&={\frac {1}{10^{n}}}\times P\times {\begin{pmatrix}6&0\\0&10\end{pmatrix}}^{n}\times P^{-1}\times {\begin{pmatrix}p_{0}\\a_{0}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{10^{n}}}\times {\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}6^{n}&0\\0&10^{n}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&-{\frac {3}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}p_{0}\\a_{0}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{10^{n}}}\times {\begin{pmatrix}6^{n}&3\times 10^{n}\\-6^{n}&10^{n}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&-{\frac {3}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}p_{0}\\a_{0}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {3^{n}}{5^{n}}}&3\\-{\frac {3^{n}}{5^{n}}}&1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&-{\frac {3}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}p_{0}\\a_{0}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {3}{4}}&-{\frac {3}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {3}{4}}\\-{\frac {1}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {1}{4}}&{\frac {3}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}p_{0}\\a_{0}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Si Léa est présente le jour ${\displaystyle 0}$ alors on a :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{n}\\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {3}{4}}&-{\frac {3}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {3}{4}}\\-{\frac {1}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {1}{4}}&{\frac {3}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {3}{4}}\\-{\frac {1}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}}$

la probabilité que Léa soit absente le jour ${\displaystyle n}$ sera donc :

${\displaystyle a_{n}=-{\frac {1}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {1}{4}}}$

Si Léa est absente le jour ${\displaystyle 0}$ alors on a :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{n}\\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {3}{4}}&-{\frac {3}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {3}{4}}\\-{\frac {1}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {1}{4}}&{\frac {3}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {3}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {3}{4}}\\{\frac {3}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}}$

la probabilité que Léa soit absente le jour ${\displaystyle n}$ sera donc :

${\displaystyle a_{n}={\frac {3}{4}}\left({\frac {3}{5}}\right)^{n}+{\frac {1}{4}}}$

Dans les deux cas on voit que :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}={\frac {1}{4}}}$

Ce qui signifie que si ${\displaystyle n}$ est grand, Léa est absente environ 1 jour sur 4.

Léa a donc un taux d'absentéisme de 25 %