Les fonctions ${\displaystyle x\mapsto x^{2}+3}$, ${\displaystyle x\mapsto x^{2}-1}$, ${\displaystyle x\mapsto x^{2}+1{,}5}$ sont toutes des primitives de la fonction ${\displaystyle x\mapsto 2x}$.

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction définie sur un intervalle ${\displaystyle I}$ et admettant des primitives.

On note ${\displaystyle \int f(x)~\mathrm {d} x}$ ou ${\displaystyle \int f}$, et on lit « intégrale sans bornes de ${\displaystyle f}$ » l'ensemble de toutes les primitives de ${\displaystyle f}$ sur l'intervalle ${\displaystyle I}$.

${\displaystyle \int 2x~\mathrm {d} x=x^{2}+C,~C\in \mathbb {R} }$.

Cette écriture signifie que les primitives de la fonction ${\displaystyle x\mapsto 2x}$ sont les fonctions de la forme ${\displaystyle x\mapsto x^{2}+C}$, où ${\displaystyle C}$ est une constante réelle.

On sait que ${\displaystyle \int x~\mathrm {d} x={\frac {x^{2}}{2}}+C,~C\in \mathbb {R} }$.

Essayons de le montrer avec une IPP :

${\displaystyle \int x~\mathrm {d} x=\int {1\cdot x~\mathrm {d} x}=[x*x]-\int {x\cdot 1~\mathrm {d} x}}$

ce qui se simplifie en basculant un terme à gauche:

${\displaystyle 2\int x~\mathrm {d} x=x^{2}+C,~C\in \mathbb {R} }$, c'est-à-dire ${\displaystyle \int x~\mathrm {d} x={\frac {x^{2}}{2}}+C,C\in \mathbb {R} }$

Trouver ${\displaystyle \int xe^{x}~\mathrm {d} x}$

On choisit pour tout ${\displaystyle x,~u'(x)=e^{x}}$ et ${\displaystyle v(x)=x}$

On obtient pour tout ${\displaystyle x,~u(x)=e^{x}}$ et ${\displaystyle v'(x)=1}$.

On obtient alors : ${\displaystyle \int xe^{x}~\mathrm {d} x=[xe^{x}]-\int e^{x}~\mathrm {d} x=(x-1)e^{x}+C,C\in \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle \int x^{2}e^{x}~\mathrm {d} x=(x^{2}-2x+2)e^{x}+C,C\in \mathbb {R} }$.
• ${\displaystyle \int x\,\ln(x)~\mathrm {d} x={\frac {x^{2}}{4}}(2\ln(x)-1)+C,C\in \mathbb {R} }$