1.

Méthode générale 

On cherche les deux racines du polynôme, à partir du discriminant :

${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac=1^{2}-4\times (-6)=1+24=25}$

On a ${\displaystyle \Delta >0}$, donc le polynôme admet deux racines :

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-1+5}{2}}=2}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-1-5}{2}}=-3}$

Ainsi, on peut factoriser le polynôme sous la forme :

${\displaystyle x^{2}+x-6=\left(x-2\right)\times \left(x+3\right)}$

Autre méthode 

Une racine évidente de ce polynôme est x₁ = 2. Pourtant, il ne s'agit pas d'une identité remarquable. Par conséquent, il admet deux racines réelles.

On sait que la somme des racines égale -b/a = -1 et on trouve la seconde racine y. On résout ainsi directement le problème :

${\displaystyle x^{2}+x-6=\left(x-2\right)\times \left(x+3\right)}$

2. Il existe principalement trois méthodes pour résoudre cette question :

Première méthode 

${\displaystyle f(x)={\frac {5}{x^{2}+x-6}}}$

Et on cherche a et b tels que :

${\displaystyle f(x)={\frac {a}{x-2}}+{\frac {b}{x+3}}}$

Mettons ces fractions au même dénominateur :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{x-2}}+{\frac {b}{x+3}}&={\frac {a(x-2)}{(x+3)\times (x+3)}}+{\frac {b(x+3)}{(x-2)\times (x-2)}}\\&={\frac {ax+3a+bx-2b}{(x+3)\times (x-2)}}\\&={\frac {(a+b)x+3a-2b}{(x+3)\times (x-2)}}\\&={\frac {(a+b)x+3a-2b}{x^{2}+x-6}}\end{aligned}}}$

Les nombres a et b sont ainsi solution lorsque :

${\displaystyle {\begin{cases}a+b=0\\3a-2b=5\end{cases}}}$

La première relation impose b = -a. En remplaçant dans la seconde :

${\displaystyle 3a+2a=5}$

On trouve :

${\displaystyle a=1\qquad b=-1}$.

Nous obtenons donc :

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x-2}}-{\frac {1}{x+3}}}$

Deuxième méthode 

${\displaystyle f(x)={\frac {a}{x-2}}+{\frac {b}{x+3}}}$

s'écrit, compte-tenu de la factorisation de la question précédente :

${\displaystyle {\frac {5}{(x-2)(x+3)}}={\frac {a}{x-2}}+{\frac {b}{x+3}}}$

En multipliant tous les termes par (x-2), on obtient :

${\displaystyle {\frac {5}{(x+3)}}=a+{\frac {b(x-2)}{x+3}}}$

Et en remplaçant x par 2, on obtient :

${\displaystyle {\frac {5}{(2+3)}}=a+{\frac {b(2-2)}{2+3}}}$

Soit a = 1

Toujours à partir de :

${\displaystyle {\frac {5}{(x-2)(x+3)}}={\frac {a}{x-2}}+{\frac {b}{x+3}}}$

en multipliant tous les termes par (x+3), on obtient :

${\displaystyle {\frac {5}{(x-2)}}={\frac {a(x+3)}{x-2}}+b}$

et en remplaçant x par -3, on obtient :

${\displaystyle {\frac {5}{(-3-2)}}={\frac {a(-3+3)}{-3-2}}+b}$

Soit b = -1

Vérification (nécessaire car les conditions trouvées a = 1 et b = -1 sont seulement nécessaires mais on ne sait pas encore si elles sont suffisantes) :

${\displaystyle {\frac {1}{x-2}}-{\frac {1}{x+3}}={\frac {x+3-x+2}{(x-2)(x+3)}}={\frac {5}{x^{2}+x-6}}=f(x)}$

Troisième méthode 

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {5}{x^{2}+x-6}}\\&={\frac {5}{(x-2)(x+3)}}\\&={\frac {x+3-x+2}{(x-2)(x+3)}}\\&={\frac {x+3}{(x-2)(x+3)}}-{\frac {x-2}{(x-2)(x+3)}}\\&={\frac {1}{(x-2)}}-{\frac {1}{(x+3)}}\end{aligned}}}$

3. Nous allons mettre à profit la décomposition trouvée précédemment :

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x-2}}-{\frac {1}{x+3}}}$

En effet, on sait calculer les primitives des fonctions de la forme u'/u (ce sont des logarithmes ln u). Dans notre cas, si on pose :

${\displaystyle u_{1}=(x-2)}$

${\displaystyle u_{2}=(x+3)}$

En dérivant :

${\displaystyle u'_{1}=1}$

${\displaystyle u'_{2}=1}$

Par conséquent :

${\displaystyle {\frac {u'_{1}}{u_{1}}}={\frac {1}{x-2}}}$

${\displaystyle {\frac {u'_{2}}{u_{2}}}={\frac {1}{x+3}}}$

Et on peut réécrire ƒ sous la forme :

${\displaystyle f(x)={\frac {u'_{1}}{u_{1}}}-{\frac {u'_{2}}{u_{2}}}}$

On peut alors facilement trouver que les primitives de ƒ sont les fonctions :

${\displaystyle F(x)=\ln(x-2)-\ln(x+3)+K}$

où K est une constante.