Méthode

Pour trouver une primitive d'une fonction contenant une exponentielle, on commence par la méthode suivante, qui consiste à reconnaître une forme dérivée à une constante multiplicative près.

Théorème

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors e^u est dérivable sur I et :

${\displaystyle (e^{u})'=u'\times e^{u}}$

Exercice 1

On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par ${\displaystyle f:x\mapsto e^{2x+1}}$

Ici, pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cdots }$ et ${\displaystyle u'(x)=\cdots }$

Donc une primitive de f sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est ${\displaystyle F:x\mapsto \cdots }$

Exercice 2

On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par ${\displaystyle f:x\mapsto x\times e^{x^{2}+1}}$

Ici, pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cdots }$ et ${\displaystyle u'(x)=\cdots }$

Donc une primitive de f sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est ${\displaystyle F:x\mapsto \cdots }$

Exercice 3

On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par ${\displaystyle f:x\mapsto 3e^{-4x+1}}$

Ici, pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cdots }$ et ${\displaystyle u'(x)=\cdots }$

Donc une primitive de f sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est ${\displaystyle F:x\mapsto \cdots }$

Exercice 4

On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par ${\displaystyle f:x\mapsto 5x^{2}e^{2x^{3}+1}}$

Ici, pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cdots }$ et ${\displaystyle u'(x)=\cdots }$

Donc une primitive de f sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est ${\displaystyle F:x\mapsto \cdots }$

Exercice 5

On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par ${\displaystyle f:x\mapsto 5\sin(x)\times e^{\cos(x)+3}}$

Ici, pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cdots }$ et ${\displaystyle u'(x)=\cdots }$

Donc une primitive de f sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est ${\displaystyle F:x\mapsto \cdots }$

Exercice 6

On demande de trouver une primitive de la fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par ${\displaystyle f:x\mapsto 5e^{x+3}+x-1}$

Ici, pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cdots }$ et ${\displaystyle u'(x)=\cdots }$

Donc une primitive de f sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est ${\displaystyle F:x\mapsto \cdots }$