Initiation au calcul intégral/Exercices/Primitive prenant une valeur donnée en un point

Rappel

On se place sur un intervalle I. Si la fonction F est une primitive de f, alors toutes les primitives de f sont de la forme F+k où k est un nombre réel quelconque.

Conséquence

Propriété

Si f admet une primitive sur I.

Deux nombres réels a et b étant fixés,

il existe une unique primitive F de f telle que F(a)=b.

Autrement dit, fixer une valeur suffit à fixer la primitive.

Problématique

On désire trouver la primitive F telle que F(a)=b en fixant correctement la constante k.

Exemple 1

Soit $f:x\mapsto x^{2}$ définie sur $\mathbb {R}$ .

On demande de trouver la primitive F de f sur R telle que F(2)=3.

a. Une primitive G de f est : G(x) = ...

Solution

La fonction G définie par pour tout $x\in \mathbb {R} ,~G(x)={\frac {x^{3}}{3}}$ est une primitive de f sur $\mathbb {R}$ .

b. $G(2)=\ldots$

Solution

$G(2)={\frac {2^{3}}{3}}={\frac {8}{3}}$

c. Soit F(x)=G(x)+ k. Alors $F(2)=\dots$

Solution

$F(2)=G(2)+k={\frac {8}{3}}+k$

d. Or F(2)=3. On a donc l’équation : ...=...

Donc k =...

Solution

On a l'équation ${\frac {8}{3}}+k=3$ d'inconnue $k\in \mathbb {R}$ , dont la solution est $k={\frac {1}{3}}$

e. Finalement F(x)=...

Solution

Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~F(x)={\frac {x^{3}+1}{3}}$

f. Vérification : F(2)=...

En pratique, on n’utilise pas la fonction intermédiaire G.

Exemple 2

Soit $f:x\mapsto x^{3}$ définie sur $\mathbb {R}$ .

On demande de trouver la primitive F de f sur $\mathbb {R}$ telle que F(-2)=5.

a. F s’écrit F(x)=...+k

b. On a donc l’équation F(-2)=...+k=...

c. Donc k=... et F(x)=...

Solution

Une primitive de f sur $\mathbb {R}$ est $G:x\mapsto {\frac {x^{4}}{4}}$
F vérifie pour tout $x\in \mathbb {R} ,~F(x)={\frac {x^{4}}{4}}+k$
F(-2)=5 donc k est solution de l'équation $5={\frac {(-2)^{4}}{4}}+k=4+k$ donc k=1

Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~F(x)={\frac {x^{4}}{4}}+1$

Exercices

1. Soit $f:x\mapsto (2x-3)^{3}$ définie sur $\mathbb {R}$ .

On demande de trouver la primitive F de f sur $\mathbb {R}$ telle que F(2)=-4.

Solution

Une primitive de f sur $\mathbb {R}$ est $G:x\mapsto {\frac {1}{8}}(2x-3)^{4}$
$G(2)={\frac {1}{8}}$

$F:x\mapsto G(x)-{\frac {33}{8}}={\frac {(2x-3)^{4}-33}{8}}$ est la primitive de f sur $\mathbb {R}$ vérifiant F(2)=-4

2. Soit $f:x\mapsto {\frac {x}{(x^{2}-1)^{2}}}$ définie sur $]1;+\infty [$ .

On demande de trouver la primitive F de f sur $]1;+\infty [$ telle que F(2)=-4.

Solution

Une primitive de f sur $\mathbb {R}$ est $G:x\mapsto {\frac {-1}{2(x^{2}-1)}}$
$G(2)=-{\frac {1}{6}}$

$F:x\mapsto G(x)-{\frac {23}{6}}={\frac {-1}{2(x^{2}-1)}}-{\frac {23}{6}}$ est la primitive de f sur $\mathbb {R}$ vérifiant F(2)=-4

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