Initiation au calcul intégral/Exercices/Intégration par parties

Exercice 5-1

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable et telle que $f''$ soit continue. Démontrer que :

$\int _{a}^{b}tf''(t)\,\mathrm {d} t=\left(bf'(b)-f(b)\right)-\left(af'(a)-f(a)\right)$ .

Solution

Nous allons utiliser la formule ː

$\int _{a}^{b}{u'v}=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}{uv'}$

en posant ː

$u'(t)=f''(t)$

$v(t)=t$

Ce qui entraîne ː

$u(t)=f'(t)$

$v'(t)=1$

On obtient ː

$\int _{a}^{b}f''(t)\times t\,\mathrm {d} t=[f'(t)\times t]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(t)\times 1\,\mathrm {d} x$

qui s'écrit ː

$\int _{a}^{b}tf''(t)\,\mathrm {d} t=bf'(b)-af'(a)-[f(t)]_{a}^{b}=bf'(b)-af'(a)-(f(b)-f(a))=\left(bf'(b)-f(b)\right)-\left(af'(a)-f(a)\right)$

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