Initiation au calcul intégral/Exercices/Calcul d’intégrales de fonctions positives et aires associées

On demande de calculer les intégrales suivantes, de tracer rapidement par lecture sur la calculatrice la courbe de la fonction positive intégrée puis de hachurer l’aire correspondante à l’intégrale.

$I_{1}=\int _{-1}^{1}(1-x^{2})~\mathrm {d} x$

Solution

${\begin{aligned}I_{1}&=\int _{-1}^{1}(1-x^{2})~\mathrm {d} x\\&=\left[x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{x=-1}^{x=1}\\&=\left(1-{\frac {1}{3}}\right)-\left(-1+{\frac {1}{3}}\right)\\&={\frac {2}{3}}+{\frac {2}{3}}\end{aligned}}$

Donc $I_{1}={\frac {4}{3}}$

$I_{2}=\int _{1}^{2}{\frac {1}{x^{2}}}~\mathrm {d} x$

Solution

${\begin{aligned}I_{2}&=\int _{1}^{2}{\frac {1}{x^{2}}}~\mathrm {d} x\\&=\left[-{\frac {1}{x}}\right]_{x=1}^{x=2}\\&=-{\frac {1}{2}}+1\\\end{aligned}}$

Donc $I_{1}={\frac {1}{2}}$

$I_{3}=\int _{1}^{5}x(2+x^{2})^{3}~\mathrm {d} x$

Solution

${\begin{aligned}I_{3}&=\int _{1}^{5}x(2+x^{2})^{3}~\mathrm {d} x\\&=\int _{1}^{5}x(x^{6}+6x^{4}+12x^{2}+8)~\mathrm {d} x\\&=\int _{1}^{5}x^{7}+6x^{5}+12x^{3}+8x~\mathrm {d} x\\&=\left[{\frac {x^{8}}{8}}+6{\frac {x^{6}}{6}}+12{\frac {x^{4}}{4}}+8{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{x=1}^{x=5}\\&=\left[{\frac {x^{8}}{8}}+x^{6}+3x^{4}+4x^{2}\right]_{x=1}^{x=5}\\&=\left({\frac {5^{8}}{8}}+5^{6}+3.5^{4}+4.5^{2}\right)-\left({\frac {1}{8}}+1+3+4\right)\\\end{aligned}}$

Donc $I_{3}=66420$

$I_{4}=\int _{0}^{0,5}{\frac {1}{2-3x}}~\mathrm {d} x$

Solution

On reconnaît une fraction rationnelle constituée :

au numérateur d'un polynôme de degré 0
au dénominateur d'un polynôme de degré 1

Cette fraction peut se bricoler pour arriver à une expression de la forme ${\frac {u'}{u}}$ , qui s'intégrera avec la fonction ln. ${\begin{aligned}I_{4}&=\int _{0}^{0,5}{\frac {1}{2-3x}}~\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{0,5}\left(-{\frac {1}{3}}\right){\frac {-3}{2-3x}}~\mathrm {d} x\\&=\left(-{\frac {1}{3}}\right)\left[\ln(2-3x)\right]_{x=0}^{x=0,5}\\&=\left(-{\frac {1}{3}}\right)(\ln(0,5)-\ln(2))&=\left(-{\frac {1}{3}}\right)(-\ln(2)-\ln(2))\end{aligned}}$

Donc $I_{4}={\frac {2\ln(2)}{3}}$

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