Soient ${\displaystyle a,b,q,r}$ quatre entiers non nuls.

Si ${\displaystyle a=b\times q+r}$ alors ${\displaystyle \operatorname {pgcd} (a,b)=\operatorname {pgcd} (b,r)}$.

${\displaystyle 49=14\times 3+7}$.

${\displaystyle \operatorname {pgcd} (49,14)=\operatorname {pgcd} (14,7)=7}$.

Une fraction est dite irréductible si le numérateur (en haut) et le dénominateur (en bas) sont premiers entre eux.

Pour rendre une fraction irréductible, il suffit de simplifier par le PGCD du numérateur et du dénominateur, ou bien de simplifier par des diviseurs communs tant qu'il en reste.

Pour rendre irréductible la fraction ${\displaystyle {\frac {75}{60}}}$ :

• calculons, avec l'algorithme d'Euclide, le PGCD de ${\displaystyle 75}$ et ${\displaystyle 60}$.

  ${\displaystyle 75=60\times 1+15}$

  ${\displaystyle 60=15\times 4+0}$

  donc ${\displaystyle \operatorname {pgcd} (75,60)=15}$

  donc ${\displaystyle {\frac {75}{60}}={\frac {5\times 15}{4\times 15}}={\frac {5}{4}}}$

  et cette dernière fraction est irréductible.

• ou bien simplifions successivement par les diviseurs communs évidents :

  ${\displaystyle {\frac {75}{60}}={\frac {5\times 15}{5\times 12}}={\frac {15}{12}}}$

  ${\displaystyle {\frac {15}{12}}={\frac {3\times 5}{3\times 4}}={\frac {5}{4}}}$.