Diviseurs communs à deux entiers naturels
Deux entiers naturels non tous deux nuls ont toujours un nombre fini de diviseurs et donc de diviseurs communs (dont –1 et 1). Il existe donc un diviseur commun à ces deux nombres plus grand que les autres.
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Le PGCD de deux entiers naturels a et b non tous deux nuls, noté pgcd(a, b), est leur plus grand diviseur commun.
Conséquence : .
Lemme pour l'algorithme d'Euclide
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Soient et , alors : .
Il suffit de démontrer que et ont mêmes diviseurs communs que et .
Soit un diviseur de et , alors divise .
Réciproquement, soit un diviseur de et , alors divise .
Algorithme d'Euclide
Soient et deux entiers naturels tels que .
Opération | Reste | Commentaire |
---|---|---|
on divise par | ||
si , on divise par | ||
… | … | … |
si , on divise par |
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Lorsque b ne divise pas a, le PGCD des entiers naturels non nuls a et b est égal au dernier reste non nul obtenu par l'algorithme d'Euclide.
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Les diviseurs communs à deux entiers naturels a et b non tous deux nuls sont les diviseurs de pgcd(a, b).
Ceci fournit une définition alternative du PGCD.
Propriétés du PGCD
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L'entier k divise ka et kb donc aussi leur PGCD. L'entier d > 0 défini par pgcd(ka, kb) = kd vérifie alors :
donc
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- et
donc .
Conséquence : si est un entier naturel non nul, diviseur commun à et , alors .
Extension du PGCD aux entiers relatifs
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Le PGCD de deux entiers relatifs non nuls et est le PGCD de leurs valeurs absolues, c'est-à-dire .
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- Les diviseurs communs à et sont encore les diviseurs de
Nombres premiers entre eux
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Deux entiers relatifs et non tous deux nuls sont dits premiers entre eux si .
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et sont premiers entre eux, car leur seul diviseur commun positif est .
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Soient et deux entiers relatifs non tous deux nuls, leur PGCD, et les entiers définis par et . Alors, et sont premiers entre eux.
est non nul et divise et donc :
- et sont bien définis et sont bien des entiers ;
- .