Une application ${\displaystyle f:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}}$ est dite affine s'il existe une application linéaire ${\displaystyle {\vec {f}}:E\to F}$ telle que

${\displaystyle \forall A,B\in {\mathcal {E}}\quad {\overrightarrow {f(A)f(B)}}={\vec {f}}({\overrightarrow {AB}})}$.

${\displaystyle {\vec {f}}}$ est alors appelée la partie linéaire de ${\displaystyle f}$.

Soit ${\displaystyle O\in {\mathcal {E}}}$ fixé. Une application ${\displaystyle f:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}}$ est affine si et seulement s'il existe un point ${\displaystyle O'\in {\mathcal {F}}}$ et une application linéaire ${\displaystyle {\vec {f}}:E\to F}$ tels que

${\displaystyle \forall M\in {\mathcal {E}}\quad f(M)=O'+{\vec {f}}({\overrightarrow {OM}})}$.

• Une translation est une application affine ${\displaystyle f:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}}$ dont la partie linéaire ${\displaystyle {\vec {f}}}$ est ${\displaystyle \mathrm {id} _{E}}$. Le vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {Mf(M)}}}$ est alors indépendant du point ${\displaystyle M\in {\mathcal {E}}}$ et est appelé le vecteur de la translation ${\displaystyle f}$.

• Une homothétie (affine) de rapport ${\displaystyle \lambda \notin \{0,1\}}$ est une application affine ${\displaystyle f:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}}$ dont la partie linéaire ${\displaystyle {\vec {f}}}$ est l'homothétie (vectorielle) ${\displaystyle \lambda \mathrm {id} _{E}}$. Elle admet un unique point fixe, appelé le centre de l'homothétie.

• Les symétries centrales sont les homothéties de rapport ${\displaystyle -1}$.

Soient ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ un sous-espace affine de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$, ${\displaystyle F}$ sa direction, et ${\displaystyle G}$ un supplémentaire de ${\displaystyle F}$ dans ${\displaystyle E}$.

• La projection sur ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ parallèlement à ${\displaystyle G}$ est l'application ${\displaystyle p:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}}$ définie par : pour tout ${\displaystyle M\in {\mathcal {E}}}$,

  ${\displaystyle p(M)\in {\mathcal {F}}\cap (M+G)}$.

• La symétrie par rapport à ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ parallèlement à ${\displaystyle G}$ est alors l'application ${\displaystyle s:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}}$ définie par : pour tout ${\displaystyle M\in {\mathcal {E}}}$,

  ${\displaystyle s(M)}$ est le symétrique de ${\displaystyle M}$ par rapport à ${\displaystyle p(M)}$.

• La projection ${\displaystyle p}$ et la symétrie ${\displaystyle s}$ définies ci-dessus sont des applications affines.
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ est à la fois l'image de ${\displaystyle p}$ et l'ensemble des points fixes de ${\displaystyle p}$ et de ${\displaystyle s}$.
• ${\displaystyle {\vec {p}}}$ est la projection (vectorielle) sur ${\displaystyle F}$ parallèlement à ${\displaystyle G}$, et ${\displaystyle {\vec {s}}}$ est la symétrie (vectorielle) par rapport à ${\displaystyle F}$, parallèlement à ${\displaystyle G}$.
• Les projections affines sont les applications affines idempotentes.
• Les symétries affines sont les applications affines involutives.

Soient ${\displaystyle f:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}}$ et ${\displaystyle g:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$ deux applications affines. Alors la composée ${\displaystyle g\circ f:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {G}}}$ est une application affine et ${\displaystyle {\overrightarrow {g\circ f}}={\vec {g}}\circ {\vec {f}}}$.

Une application affine ${\displaystyle f:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}}$ est bijective si et seulement si ${\displaystyle {\vec {f}}:E\to F}$ l'est. Dans ce cas, ${\displaystyle f^{-1}:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {E}}}$ est affine et ${\displaystyle {\overrightarrow {f^{-1}}}={\vec {f}}^{-1}}$.

• L'ensemble des bijections affines de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ est un sous-groupe du groupe ${\displaystyle (S({\mathcal {E}}),\circ )}$ des bijections de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$. On l'appelle le groupe affine de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ et on le note ${\displaystyle \operatorname {GA} ({\mathcal {E}})}$.
• Le sous-ensemble des applications affines de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ qui sont des homothéties ou des translations ou l'identité, est un sous-groupe du précédent. On l'appelle le groupe des homothéties-translations de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ et on le note ${\displaystyle \operatorname {HT} ({\mathcal {E}})}$.

Soient ${\displaystyle f:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}}$ une application affine et ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subset {\mathcal {E}}}$ un sous-espace affine de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$, de direction ${\displaystyle G\subset E}$. Alors, ${\displaystyle f({\mathcal {G}})}$ est un sous-espace affine de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, de direction ${\displaystyle {\vec {f}}(G)\subset F}$.

Soit ${\displaystyle f:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}}$ une application affine. Si l'ensemble ${\displaystyle \operatorname {Fix} (f)}$ des points fixes de ${\displaystyle f}$ n'est pas vide, alors c'est un sous-espace affine de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$, de direction le sous-espace vectoriel ${\displaystyle \ker({\vec {f}}-\mathrm {id} _{E})}$ de ${\displaystyle E}$.