Notion d'expression (ou formule)

Soit une expression (ou formule) donnée, on applique l’expression à une valeur particulière de ${\displaystyle x}$ en remplaçant ${\displaystyle x}$ par cette valeur (on dit aussi substituer la valeur particulière à ${\displaystyle x}$).

Exemple

Soit l’expression ${\displaystyle x^{2}+{\frac {1}{2}}}$. Quand la valeur de ${\displaystyle x}$ est 1, l’expression vaut ${\displaystyle 1^{2}+{\frac {1}{2}}=1+{\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}=1,5}$

Application : Appliquer l’expression suivante aux valeurs de ${\displaystyle x}$ demandées :

Expression : ${\displaystyle 3x+5}$

${\displaystyle x=1\Rightarrow }$ Valeur de l’expression : .............................

${\displaystyle x=-3\Rightarrow }$ Valeur de l’expression : .............................

${\displaystyle x={\frac {-7}{3}}\Rightarrow }$ Valeur de l’expression : .............................

Solutions

Pour ${\displaystyle x=1}$, l’expression vaut ${\displaystyle 3\times 1+5=3+5=8}$

Pour ${\displaystyle x=-3}$, l’expression vaut ${\displaystyle 3\times (-3)+5=-9+5=-4}$

Pour ${\displaystyle x={\frac {-7}{3}}}$, l’expression vaut ${\displaystyle 3\times {\frac {-7}{3}}+5=-7+5=-2}$

Égalité de deux expressions

Deux expressions algébriques sont égales lorsqu'elles fournissent le même résultat à chaque fois qu'on remplace les lettres qu’elles contiennent par des nombres.

Définition

• Deux expressions ${\displaystyle f(x)}$ et ${\displaystyle g(x)}$ sont égales sur un ensemble ${\displaystyle E}$ si :

- ${\displaystyle f(x)}$ et ${\displaystyle g(x)}$ sont définies sur ${\displaystyle E}$ .

- et pour tout ${\displaystyle x\in E}$ : ${\displaystyle f(x)=g(x)}$.

Exemple

Les expressions ${\displaystyle a+a}$ et ${\displaystyle 2a}$ sont égales. En effet, quel que soit le nombre ${\displaystyle a}$ considéré, effectuer la somme ${\displaystyle a+a}$ ou multiplier ${\displaystyle a}$ par 2 fournit bien le même résultat. On peut donc écrire ${\displaystyle a+a=2a}$

Avertissement : Vérifier l'égalité sur quelques exemples de valeurs ne suffit pas pour pouvoir affirmer l'égalité de deux expressions. Il est nécessaire de fournir une démonstration générale basée sur les règles du calcul algébrique afin d'exprimer l'égalité de deux expressions.
Par contre, il suffit d'un seul exemple de valeurs où l'égalité n’est pas vérifiée pour pouvoir affirmer que les expressions ne sont pas égales. On dit dans ce cas qu'on a fourni un contre exemple.

Notion de fonction d'une variable réelle

Fonction, image

Définition

Soit ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ une partie de ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

• Définir une fonction ƒ sur ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, c’est associer à chaque nombre x de ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ un nombre réel unique noté ${\displaystyle f(x)}$.
• On écrit ${\displaystyle f:x\mapsto f(x)}$ et on lit « ƒ est la fonction qui, à x, associe ƒ(x) »
• On dit que « ${\displaystyle f(x)}$ est l'image de x par la fonction ƒ » ou que « x a pour image ${\displaystyle f(x)}$ ».
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ s’appelle l'ensemble de définition de ƒ. On dit que ƒ est définie sur ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$.

Début de l'exemple

Exemple

Soit la fonction ƒ définie sur ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{f}=[-2;2]}$ par ${\displaystyle f:x\mapsto x^{2}+x+3}$.

L'image de ${\displaystyle -1}$ par ƒ est : ${\displaystyle {\begin{aligned}f(-1)&=(-1)^{2}+(-1)+3\\&=1-1+3\\&=3\end{aligned}}}$.

Fin de l'exemple

Dans l'exemple précédent, la fonction f est l'entité mathématique qui associe à x la valeur de l'expression. On note :

${\displaystyle f:x\mapsto x^{2}+{\frac {1}{2}}}$

Décrire en français l'action de f sur x :

${\displaystyle ........................................................................................................}$

Image d'un nombre par une fonction

L'image d'un nombre par une fonction est la valeur que la fonction lui associe, ainsi dans l'exemple précédent :

• l'image de ${\displaystyle 1}$ par la fonction f est ..................
• l'image de ${\displaystyle -3}$ par la fonction f est ................
• l'image de ${\displaystyle {\frac {-7}{3}}}$ par la fonction f est ..................

Notation "f de x"

Une expression qui définit une fonction f est souvent notée ${\displaystyle f(x)}$ qui se lit "f de x"

pour signifier la dépendance à la valeur de la variable.

Attention : Ce n’est pas une multiplication par x !!!

Ainsi dans la question précédente on avait l’expression

${\displaystyle f(x)=...............................}$

Et on a calculé les valeurs : ${\displaystyle f(...)=........}$ , ${\displaystyle f(...)=........}$ et ${\displaystyle f(...)=........}$.

Différence entre la fonction et son expression

Une fonction n’est pas une expression, mais un être mathématique qui peut être défini par une expression.

On peut écrire :

f est la fonction ${\displaystyle ..............}$ par ${\displaystyle f(x)=.......................}$

Remarque finale : Une fonction est un objet abstrait, qui ne se voit pas.

Une fonction, c’est une manière d'associer à un nombre son image.

Une expression est une façon de décrire le processus de manière visuelle, avec une formule.

Mais une fonction peut être définie par autre chose qu'une formule : un tableau de valeurs, un graphique, une construction géométrique, une quantité physique, etc.

Antécédent

Définition

Soit ƒ une fonction définie sur un ensemble ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$.

Si le nombre réel x a pour image y par la fonction ƒ (c'est-à-dire ${\displaystyle f(x)=y}$), on dit que x est un antécédent de y par ƒ.

Remarques

• L'image d'un nombre par une fonction est unique.
• Un nombre peut avoir plusieurs antécédents (voire une infinité) par une même fonction, ou un unique antécédent, ou aucun antécédent.

Début de l'exemple

Exemple

Soit la fonction ${\displaystyle f}$ définie sur ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{f}=[-2,2]}$ par ${\displaystyle f:x\mapsto x^{2}+x+3}$.

On a ${\displaystyle f(-1)=3}$ et ${\displaystyle f(0)=3}$. Donc 3 possède au moins deux antécédents par ${\displaystyle f}$ : –1 et 0.

Fin de l'exemple

Valeurs interdites - Ensemble des valeurs interdites

Définition

Une valeur interdite pour une expression est une valeur pour laquelle l'expression n’est pas définie, c'est-à-dire n’est pas « calculable ».

Lorsqu'une expression admet plusieurs valeurs interdites, on peut les regrouper dans un ensemble de valeurs interdites.

Voyons ce concept illustré sur quelques exemples :

• L'expression ${\displaystyle {\frac {1}{x-1}}}$ n’est pas « calculable » pour ${\displaystyle x-1=0}$ (division par zéro), donc elle ne l'est pas pour ${\displaystyle x=1}$.

Ainsi 1 est une valeur interdite pour l’expression ${\displaystyle {\frac {1}{x-1}}}$.

• L'expression ${\displaystyle {\frac {1}{(x-1)(x+4)}}}$ n’est pas « calculable » pour ${\displaystyle (x-1)(x+4)=0}$ , c'est-à-dire

pour ${\displaystyle x=1}$ et ${\displaystyle x=-4}$.

Ainsi 1 et -4 sont des valeurs interdites pour l’expression ${\displaystyle {\frac {1}{(x-1)(x+4)}}}$.

• L'expression ${\displaystyle {\sqrt {x+2}}}$ n’est pas « calculable » pour ${\displaystyle x+2<0}$ (on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre strictement négatif). Cette expression n'a donc pas de sens pour ${\displaystyle x<-2}$.

Ainsi les valeurs interdites de ${\displaystyle {\sqrt {x+2}}}$ sont toutes les valeurs de l’ensemble ${\displaystyle ]-\infty$ ;-2[} , c'est-à-dire que l’ensemble des valeurs interdites de l’expression ${\displaystyle {\sqrt {x+2}}}$ est ${\displaystyle ]-\infty$ ;-2[} .

• L'expression ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x+2}}}}$ n’est pas « calculable » pour ${\displaystyle x+2<0}$ (on ne peut ni prendre la racine carrée d'un nombre strictement négatif, ni diviser par zéro). Cette expression n'a donc pas de sens pour ${\displaystyle x<-2}$.

Ainsi les valeurs interdites de ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x+2}}}}$ sont toutes les valeurs de l’ensemble ${\displaystyle ]-\infty$ ;-2]} , c'est-à-dire que l’ensemble des valeurs interdites de l’expression ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x+2}}}}$ est ${\displaystyle ]-\infty$ ;-2]} .