Généralités sur les fonctions/Exercices/Ensemble de définition

Exercice 1-1

a) Pourquoi l’expression ${\frac {1}{x-1}}$ n'est-elle pas définie pour $x=1$ ?

Solution

Pour $x=1$ , l’expression $x-1$ s'annule.

Or on ne peut pas diviser par $0$ .

Donc $1$ est une valeur interdite pour l’expression ${\frac {1}{x-1}}$ .

b) Pourquoi l’expression ${\frac {1}{x-2}}$ n'est-elle pas définie pour $x=2$ ?

Solution

Pour $x=2$ , l’expression $x-2$ s'annule.

Or on ne peut pas diviser par $0$ .

Donc $2$ est une valeur interdite pour l’expression ${\frac {1}{x-2}}$ .

c) Pourquoi l’expression ${\frac {1}{x+1}}$ n'est-elle pas définie pour $x=-1$ ?

Solution

Pour $x=-1$ , l’expression $x+1$ s'annule.

Or on ne peut pas diviser par $0$ .

Donc $-1$ est une valeur interdite pour l’expression ${\frac {1}{x+1}}$ .

d) Pourquoi l’expression ${\frac {1}{x+2}}$ n'est-elle pas définie pour $x=-2$ ?

Solution

Pour $x=-2$ , l’expression $x+2$ s'annule.

Or on ne peut pas diviser par $0$ .

Donc $-2$ est une valeur interdite pour l’expression ${\frac {1}{x+2}}$

e) Pourquoi l’expression ${\frac {1}{x^{2}-1}}$ n'est-elle pas définie pour $x=1$ ?

Solution

Pour $x=1$ , l’expression $x^{2}-1$ s'annule.

Or on ne peut pas diviser par $0$ .

Donc $1$ est une valeur interdite pour l’expression ${\frac {1}{x^{2}-1}}$ .

En factorisant $x^{2}-1$ , trouver une autre valeur interdite.

Solution

$x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ donc $x^{2}-1$ s'annule aussi pour $x=-1$ .

Donc $-1$ est aussi une valeur interdite.

f) Pourquoi l’expression ${\frac {1}{x^{2}-4}}$ n'est-elle pas définie pour $x=2$ ?

Solution

Pour $x=2$ , l’expression $x^{2}-4$ s'annule.

Or on ne peut pas diviser par $0$

donc $2$ est une valeur interdite pour l’expression ${\frac {1}{x^{2}-4}}$ .

En factorisant $x^{2}-4$ , trouver une autre valeur interdite.

Solution

$x^{2}-4=(x-2)(x+2)$ donc $x^{2}-4$ s'annule aussi pour $x=-2$ .

Donc $-2$ est aussi une valeur interdite.

Exercice 1-2

Pour chacune des expressions suivantes, donner les nombres réels pour lesquelles l'expression n'est pas définie.

a) ${\frac {2}{x-1}}$

Solution

Le dénominateur $x-1$ s'annule si et seulement si $x=1$ donc l’expression ${\frac {2}{x-1}}$ n’est pas définie si et seulement si $x=1$ .

b) $1-{\frac {2x}{x+2}}$

Solution

Le dénominateur $x+2$ s'annule si et seulement si $x=-2$ donc l’expression $1-{\frac {2x}{x+2}}$ n’est pas définie si et seulement si $x=-2$ .

c) ${\frac {1}{x-2}}+{\frac {1}{x^{2}+1}}$

Solution

$x^{2}+1$ ne s'annule jamais et $x-2$ s'annule si et seulement si $x=2$ donc l’expression ${\frac {1}{x-2}}+{\frac {1}{x^{2}+1}}$ n’est pas définie si et seulement si $x=2$ .

d) ${\frac {1}{x-2}}+{\frac {1}{x^{2}-1}}$

Solution

Cette expression n'est pas définie si et seulement si $x=2$ ou $x^{2}=1$ .

Or $x^{2}=1\Leftrightarrow (x+1)(x-1)=0\Leftrightarrow x=-1$ ou $x=1$ .

Donc l'expression n'est pas définie si et seulement si $x$ est égal à $2$ , $-1$ ou $1$ .

Exercice 1-3

Chacune des expressions ci-dessous définit une fonction $f$ . Exprimer l'ensemble de définition $D_{f}$ (le plus grand possible) sous forme d'intervalle ou d'union d'intervalles.

a) $f(x)={\frac {2}{x-1}}$

Solution

$D_{f}=\mathbb {R} \setminus \{1\}=\left]-\infty ,1\right[\cup \left]1,+\infty \right[$ .

b) $f(x)=1-{\frac {2x}{x+2}}$

Solution

$D_{f}=\mathbb {R} \setminus \{-2\}=\left]-\infty ,-2\right[\cup \left]-2,+\infty \right[$ .

c) $f(x)={\frac {1}{x-2}}+{\frac {1}{x^{2}+1}}$

Solution

$D_{f}=\mathbb {R} \setminus \{2\}=\left]-\infty ,2\right[\cup \left]2,+\infty \right[$ .

d) $f(x)={\frac {1}{x-2}}+{\frac {1}{x^{2}-1}}$

Solution

$D_{f}=\mathbb {R} \setminus \{-1,1,2\}=\left]-\infty ,-1\right[\cup \left]-1,1\right[\cup \left]2,+\infty \right[$ .

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