${\displaystyle f(X)={\frac {a}{X-1}}+{\frac {b}{X}}+{\frac {c}{X+1}}\quad (*)}$.

En multipliant ${\displaystyle (*)}$ par ${\displaystyle X-1}$ puis en posant ${\displaystyle X=1}$, on trouve

${\displaystyle a={\frac {2}{1\left(1+1\right)}}=1}$.

En multipliant ${\displaystyle (*)}$ par ${\displaystyle X}$ puis en posant ${\displaystyle X=0}$, on trouve

${\displaystyle b={\frac {2}{\left(0-1\right)\left(0+1\right)}}=-2}$.

En multipliant ${\displaystyle (*)}$ par ${\displaystyle X+1}$ puis en posant ${\displaystyle X=-1}$, on trouve

${\displaystyle c={\frac {2}{\left(-1-1\right)\left(-1\right)}}=1}$

(on pouvait aussi remarquer que ${\displaystyle f}$ est impaire donc ${\displaystyle c=a}$).

${\displaystyle f(X)={\frac {1}{X-1}}-{\frac {2}{X}}+{\frac {1}{X+1}}}$.

On peut calculer de même les décompositions de ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle h}$, ou les déduire de celle de ${\displaystyle f}$ :

${\displaystyle g(X)=f(X+1)={\frac {1}{X}}-{\frac {2}{X+1}}+{\frac {1}{X+2}}}$.

${\displaystyle h(X)=f(X+2)={\frac {1}{X+1}}-{\frac {2}{X+2}}+{\frac {1}{X+3}}}$.

${\displaystyle X^{4}+1=\left(X+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}\right)\left(X+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi /4}\right)\left(X-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}\right)\left(X-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi /4}\right)=\left(X^{2}+{\sqrt {2}}X+1\right)\left(X^{2}-{\sqrt {2}}X+1\right)}$

donc

${\displaystyle {\frac {1}{X^{4}+1}}={\frac {aX+b}{X^{2}+{\sqrt {2}}X+1}}+{\frac {cX+d}{X^{2}-{\sqrt {2}}X+1}}}$.

Par parité, ${\displaystyle c=-a}$ et ${\displaystyle d=b}$. Puis ${\displaystyle b={\frac {1}{2}}}$ (par évaluation en ${\displaystyle 0}$). Puis (en réduisant au même dénominateur et en identifiant le coefficient de degré 2 du numérateur) ${\displaystyle -2a{\sqrt {2}}+1=0}$. Donc la décomposition en éléments simples est

${\displaystyle f(X)=g(X)+g(-X)}$ avec ${\displaystyle g(X):={\frac {{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}X+{\frac {1}{2}}}{X^{2}+{\sqrt {2}}X+1}}}$.

${\displaystyle X^{2}-3X+2=\left(X-1\right)\left(X-2\right)}$ donc

${\displaystyle f(X)={\frac {a}{X-1}}+{\frac {b}{\left(X-1\right)^{2}}}+{\frac {c}{X-2}}+{\frac {d}{\left(X-2\right)^{2}}}}$.

Après réduction au même dénominateur :

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=\left(a\left(X-1\right)+b\right)\left(X-2\right)^{2}+\left(c\left(X-2\right)+d\right)\left(X-1\right)^{2}\\&=\left(aX+b-a\right)\left(X^{2}-4X+4\right)+\left(cX+d-2c\right)\left(X^{2}-2X+1\right)\\&=\left(a+c\right)X^{3}+\left(b-5a+d-4c\right)X^{2}+\left(8a-4b+5c-2d\right)X+4b-4a+d-2c.\end{aligned}}}$

Par identification des coefficients et résolution du système :

${\displaystyle a=2,\quad c=-2,\quad b=d=1}$

donc

${\displaystyle f(X)={\frac {2}{X-1}}+{\frac {1}{\left(X-1\right)^{2}}}-{\frac {2}{X-2}}+{\frac {1}{\left(X-2\right)^{2}}}}$.

${\displaystyle f(X)={\frac {X^{2}-1+1}{X+1}}=X-1+{\frac {1}{X+1}}}$.