Fonctions trigonométriques/Propriétés préliminaires

Ce chapitre est destiné à étudier des propriétés qui nous seront utiles pour calculer des limites faisant intervenir des fonctions trigonométriques. La propriété 1 de ce chapitre est souvent admise dans des cours similaires. Nous avons toutefois choisi de la déduire de lemmes qui nous semblent plus intuitifs à admettre que la propriété 1.

Considérations sur les arcs de cercle

Nous avons tout d'abord le lemme suivant :

Lemme 1

Soit un cercle de centre

O

sur lequel sont choisis deux points

A

et

B

. Alors la longueur de l'arc

{\overset {\frown }{AB}}

est supérieure à la longueur de la corde

[AB]

.

Nous admettrons ce lemme très intuitif, qui découle du fait bien connu que la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre.

Nous retiendrons ensuite le lemme suivant :

Lemme 2

Soit un cercle de centre

O

sur lequel sont choisis deux points

A

et

B

. Alors la longueur de l'arc

{\overset {\frown }{AB}}

rentrant est inférieure à la longueur de tout chemin extérieur au cercle reliant les points

A

et

B

.

Nous admettrons aussi ce lemme, difficile à démontrer bien qu'assez intuitif.

Continuité de la fonction sinus

Rappel

Nous rappelons qu'une fonction $f$ est continue en une valeur $a$ de son domaine de définition si :

\lim _{x\to a}f(x)=f(a)

,

ce qui est équivalent à :

\lim _{h\to 0}f(a+h)=f(a)

.

Nous montrerons la continuité de la fonction sinus grâce au lemme suivant :

Lemme 3

$|\sin x|<|x|$ .

Preuve du lemme 3 grâce au lemme 1

Considérons un arc ${\overset {\frown }{AM}}$ du cercle trigonométrique dont la mesure en radians est $x$ avec :

$|x|<{\frac {\pi }{2}}$

et soit $N$ , le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses.

Si

x

est négatif, on visualisera que les points

M

et

N

sont inversés sur la figure.

Dans les deux cas de figure nous voyons que la longueur de l'arc ${\overset {\frown }{AM}}$ est $|x|$ et la longueur du segment $[BM]$ est $|\sin x|$ .

D'après le lemme 1, la longueur de la corde $[NM]$ est inférieure à la longueur de l'arc ${\overset {\frown }{NM}}$ , ce qui nous donne, par symétrie :

$2|\sin x|<2|x|$

soit, en simplifiant :

$|\sin x|<|x|$ .

Preuve du lemme 3 par les aires

Considérons le cercle unité sur la figure suivante, où l'angle $\theta$ est compris entre $0$ et ${\frac {\pi }{2}}$ , et comparons deux aires présentes dans cette figure :

Le triangle rouge est contenu dans le secteur circulaire bleu donc :

{\frac {\sin \theta }{2}}<{\frac {\theta }{2}}

,

ou encore (en multipliant les deux membres par le nombre ${\frac {2}{\theta }}>0$ ) :

{\frac {\sin \theta }{\theta }}<1

.

Montrons que la fonction sinus est continue en une valeur $a$ quelconque de son domaine de définition qui est $\mathbb {R}$ .

De l'une des formules de Simpson :

\sin p-\sin q=2\sin {\frac {p-q}{2}}\cos {\frac {p+q}{2}}

,

on déduit, grâce au lemme 3 :

|\sin x-\sin a|=2\left|\sin {\frac {x-a}{2}}\right|\left|\cos {\frac {x+a}{2}}\right|\leq 2\times \left|{\frac {x-a}{2}}\right|\times 1=|x-a|

,

d'où il découle, d'après le théorème de l'encadrement (théorème des gendarmes) :

\lim _{x\to a}|\sin x-\sin a|=0

,

autrement dit :

\lim _{x\to a}\sin x=\sin a

,

ce qui montre que la fonction sinus est bien continue en $a$ .

Continuité de la fonction cosinus

Nous invitons le lecteur, à titre d'entraînement, à faire une démonstration similaire à celle de la fonction sinus en utilisant une autre formule de Simpson :

\cos p-\cos q=-2\sin {\frac {p-q}{2}}\sin {\frac {p+q}{2}}

.

Quant à nous, nous nous contenterons de remarquer que :

\cos x=\sin \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)

,

qui nous montre que la continuité de la fonction cosinus découle directement, par composition de fonctions continues, de la continuité de la fonction sinus.

Continuité de la fonction tangente

Comme :

\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}

,

la fonction tangente est continue comme quotient de deux fonctions continues.

Propriétés sur les limites

La propriété 1 ci-dessous est assez fondamentale et permet d'établir un grand nombre de limites d'expressions contenant des fonctions trigonométriques. Nous verrons en particulier que grâce à celle-ci, nous pourrons calculer la dérivée des fonctions sinus et cosinus.

Propriété 1

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$ .

Pour démontrer cette propriété, nous utiliserons le lemme 3 et le lemme suivant :

Lemme 4

Pour tout réel $x\neq 0$ tel que $|x|\leq {\frac {\pi }{2}}$ , on a :

\cos x<{\frac {\sin x}{x}}

.

Preuve du lemme 4 grâce au lemme 2

Nous supposons que $x$ est positif et invitons le lecteur à refaire l'étude en supposant $x$ négatif.

Reprenons la figure de la première preuve du lemme 3 — nous avions entre autres ${\overset {\frown }{NM}}=2x$ — et ajoutons-y la tangente en $M$ au cercle trigonométrique et $T$ , son point d'intersection avec l’axe des abscisses. Comme $[OM]$ est un rayon du cercle trigonométrique, on a $OM=1$ et donc :

TM=\tan x

.

Par symétrie, on a également $NT=\tan x$ .

La réunion des segments $[NT]$ et $[TM]$ constitue un chemin extérieur au cercle trigonométrique reliant les points $N$ et $M$ . Par conséquent, la longueur de ce chemin est, d'après le lemme 2, supérieure à celle de l'arc ${\overset {\frown }{NM}}$ . On a donc :

2x<2\tan x

,

soit :

x<\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}

et nous obtenons :

\cos x<{\frac {\sin x}{x}}

.

Preuve du lemme 4 par les aires

Reprenons la figure de la seconde preuve du lemme 3 et comparons maintenant les deux aires suivantes :

Le secteur circulaire bleu est contenu dans le triangle vert donc :

{\frac {\theta }{2}}<{\frac {\tan \theta }{2}}

,

ou encore (en multipliant les deux membres par le nombre ${\frac {2\cos \theta }{\theta }}>0$ ) :

\cos \theta <{\frac {\sin \theta }{\theta }}

.

Les lemmes 3 et 4 nous donnent deux inégalités qui peuvent se réunir en un encadrement :

\cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1

.

La fonction cosinus étant continue en $0$ , nous avons :

\lim _{x\to 0}\cos x=\cos 0=1

.

Par conséquent, en faisant tendre $x$ vers $0$ dans les trois membres de $\cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1$ , nous obtenons en utilisant le théorème de l'encadrement (théorème des gendarmes) :

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1

.

La propriété suivante se déduit de la propriété 1 mais est aussi importante pour faciliter l'établissement de limites d'expressions contenant des fonctions trigonométriques.

Propriété 2

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}$ .

Démonstration

Nous partirons de la formule de duplication :

\cos 2a=1-2\sin ^{2}a

.

En posant $a={\frac {x}{2}}$ , nous obtenons :

\cos x=1-2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}

,

et donc :

{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\sin {\frac {x}{2}}}{\frac {x}{2}}}\right)^{2}

.

Posons $X={\frac {x}{2}}$ .

{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\sin X}{X}}\right)^{2}

.

Si l’on fait tendre $x$ vers $0$ , alors $X$ tend aussi vers $0$ . Par conséquent, en utilisant la propriété 1, on a :

\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}=\lim _{X\to 0}{\frac {1}{2}}\left({\frac {\sin X}{X}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\times 1^{2}={\frac {1}{2}}

.

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