${\displaystyle z^{2}-z+{\frac {1}{5}}=0\Leftrightarrow z={\frac {1\pm {\frac {1}{\sqrt {5}}}}{2}}={\frac {5\pm {\sqrt {5}}}{10}}}$.

Soient ${\displaystyle \alpha =\arcsin {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}$ et ${\displaystyle \beta =\arcsin {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}$.

Les solutions ${\displaystyle \{x,y\}}$ sont les paires ${\displaystyle \{\alpha ',\beta '\}}$ avec ${\displaystyle \alpha '\equiv \alpha {\text{ ou }}\pi -\alpha }$ et ${\displaystyle \beta '\equiv \beta {\text{ ou }}\pi -\beta {\pmod {2\pi }}}$.

Ce système n'a pas de solution, car ${\displaystyle \sin ^{2}x+\sin ^{2}y+\cos ^{2}x+\cos ^{2}y=2\neq 0{,}3+0{,}7}$.

En notant ${\displaystyle u=\sin x}$, ${\displaystyle v=\sin y}$ et ${\displaystyle P=uv}$, ce système équivaut, outre la condition ${\displaystyle \cos x\cos y<0}$, à

${\displaystyle u+v=1{\text{ et }}\left(1-u^{2}\right)\left(1-v^{2}\right)={\frac {9}{16}}}$

ou encore :

${\displaystyle u+v=1{\text{ et }}P^{2}+2P-{\frac {9}{16}}=0}$.

Puisque ${\displaystyle |P|\leq 1}$, la solution ${\displaystyle P=-{\frac {9}{4}}}$ est exclue, donc ${\displaystyle P={\frac {1}{4}}}$, donc ${\displaystyle u=v={\frac {1}{2}}}$.

Finalement (compte tenu de la condition ${\displaystyle \cos x\cos y<0}$) la solution du système est donc ${\displaystyle \{x,y\}=\left\{{\frac {\pi }{6}},{\frac {5\pi }{6}}\right\}{\pmod {2\pi }}}$.

${\displaystyle \sin 2\left({\frac {\pi }{3}}-x\right)=\sin x\Leftrightarrow \tan x=-{\sqrt {3}}}$ donc les solutions sont ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{3}}+k\pi ,{\frac {2\pi }{3}}-k\pi \right),\quad k\in \mathbb {Z} }$.

La première équation équivaut à ${\displaystyle x\equiv -2y\mod \pi }$ et la seconde à ${\displaystyle 2x\equiv y{\text{ ou }}\pi -y\mod 2\pi }$, soit ${\displaystyle x\equiv {\frac {y}{2}}{\text{ ou }}{\frac {\pi }{2}}-{\frac {y}{2}}\mod \pi }$.

${\displaystyle -2y={\frac {y}{2}}-k\pi \Leftrightarrow y={\frac {2k\pi }{5}}}$, et ${\displaystyle -2y={\frac {\pi }{2}}-{\frac {y}{2}}-k\pi \Leftrightarrow y={\frac {(2k-1)\pi }{3}}}$.

Les solutions sont donc ${\displaystyle \left({\frac {k\pi }{5}}+\ell \pi ,{\frac {2k\pi }{5}}\right)}$ et ${\displaystyle \left({\frac {(2k-1)\pi }{3}}+\ell \pi ,{\frac {(2k-1)\pi }{3}}\right)}$ avec ${\displaystyle k,\ell \in \mathbb {Z} }$.

La première équation équivaut à ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\pm y+2k,\quad k\in \mathbb {Z} }$ et la seconde à ${\displaystyle 3x-5y\in \mathbb {Z} }$.

${\displaystyle 3\left({\frac {1}{2}}+y+2k\right)-5y\in \mathbb {Z} \Leftrightarrow y={\frac {1}{4}}+{\frac {\ell }{2}},\quad \ell \in \mathbb {Z} }$, et ${\displaystyle 3\left({\frac {1}{2}}-y+2k\right)-5y\in \mathbb {Z} \Leftrightarrow y={\frac {1}{16}}+{\frac {\ell }{8}},\quad \ell \in \mathbb {Z} }$.

Les solutions sont donc ${\displaystyle \left({\frac {3}{4}}+{\frac {\ell }{2}}+2k,{\frac {1}{4}}+{\frac {\ell }{2}}\right)}$ et ${\displaystyle \left({\frac {7}{16}}-{\frac {\ell }{8}}+2k,{\frac {1}{16}}+{\frac {\ell }{8}}\right)}$ avec ${\displaystyle k,\ell \in \mathbb {Z} }$.

${\displaystyle {\frac {\pi -3y}{2}}=\left[y-2k\pi {\text{ ou }}\pi -y-2k\pi \right]\Leftrightarrow y=\left[{\frac {(1+4k)\pi }{5}}{\text{ ou }}(4k-1)\pi \right]}$.

Les solutions sont donc ${\displaystyle \left({\frac {(1-6k)\pi }{5}},{\frac {(1+4k)\pi }{5}}\right)}$ et ${\displaystyle \left(2(1-3k)\pi ,(4k-1)\pi \right),\quad k\in \mathbb {Z} }$.

La première équation équivaut à ${\displaystyle y=2x+k\pi ,\quad k\in \mathbb {Z} }$ et la seconde à ${\displaystyle y\equiv \pm x\mod 2\pi }$.

${\displaystyle 2x+k\pi \equiv x\mod 2\pi \Leftrightarrow x\equiv -k\pi \mod 2\pi }$, et

${\displaystyle 2x+k\pi \equiv -x\mod 2\pi \Leftrightarrow x\equiv -{\frac {k\pi }{3}}\mod {\frac {2\pi }{3}}}$.

Les solutions sont donc ${\displaystyle \left((2\ell -k)\pi ,(4\ell -k)\pi \right)}$ et ${\displaystyle \left({\frac {(2\ell -k)\pi }{3}},{\frac {(4\ell +k)\pi }{3}}\right)}$ avec ${\displaystyle k,\ell \in \mathbb {Z} }$, ou simplement les couples du second type, puisqu'ils incluent ceux du premier.

${\displaystyle \cos x+\cos \left({\frac {4\pi }{3}}-x\right)=\cos \left(x+{\frac {\pi }{3}}\right)}$ et ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}=\cos {\frac {2\pi }{3}}}$.

Les solutions ${\displaystyle \{x,y\}}$ sont donc ${\displaystyle \left\{{\frac {\pi }{3}}+2k\pi ,\pi -2k\pi \right\}}$, avec ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.