Soit ${\displaystyle y}$ strictement compris entre entre ${\displaystyle l}$ et ${\displaystyle L}$. On peut supposer par exemple ${\displaystyle l<y<L}$ (sinon, considérer ${\displaystyle -f}$). Il existe alors deux réels ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ tels que

${\displaystyle a<A\leq B<b\quad {\text{et}}\quad \forall x\in \left]a,A\right]\quad f(x)\leq y\quad {\text{et}}\quad \forall x\in \left[B,b\right[\quad f(x)\geq y}$.

En particulier, ${\displaystyle f(A)\leq y\leq f(B)}$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, ${\displaystyle \exists x\in \left[A,B\right]\quad y=f(x)}$.

Soit un réel ${\displaystyle M_{1}>\max(|l|,|L|)}$. Il existe alors deux réels ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ tels que

${\displaystyle a<A\leq B<b\quad {\text{et}}\quad \forall x\in \left]a,A\right[\cup \left]B,b\right[\quad |f(x)|<M_{1}}$.

Posons ${\displaystyle M_{2}=\sup |f|\left(\left[A,B\right]\right)}$ (fini, d'après le théorème des bornes).

${\displaystyle \forall x\in \left]a,b\right[\quad |f(x)|\leq \max(M_{1},M_{2})}$.

1) Soit ${\displaystyle c\in \left]a,b\right[}$ tel que ${\displaystyle f(c)<L}$. Il existe alors deux réels ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ tels que

${\displaystyle \forall x\in \left]a,A\right[\cup \left]B,b\right[\quad f(x)>f(c)}$, ce qui implique ${\displaystyle A\leq c\leq B}$.

D'après le théorème des bornes, la restriction de ${\displaystyle f}$ à ${\displaystyle \left[A,B\right]}$ atteint son minimum en un certain point ${\displaystyle d}$, en particulier : ${\displaystyle f(d)\leq f(c)}$.

${\displaystyle \forall x\in \left]a,b\right[\quad f(x)\geq f(d)}$.

2) Si ${\displaystyle f}$ est constante, le résultat est immédiat.

Supposons maintenant que ${\displaystyle f}$ prend au contraire, en au moins un point ${\displaystyle c\in \left]a,b\right[}$, une valeur différente de ${\displaystyle L}$.

Si ${\displaystyle f(c)<L}$ alors ${\displaystyle f}$ a un minimum d'après la question précédente. Si ${\displaystyle f(c)>L}$ alors ${\displaystyle f}$ a un maximum, d'après la question précédente appliquée à ${\displaystyle -f}$.

1) Si ${\displaystyle l}$ et ${\displaystyle L}$ sont finies, ${\displaystyle f\circ \tan }$ s'étend en une fonction continue ${\displaystyle g:\left[a',b'\right]\to \mathbb {R} }$ en posant ${\displaystyle g(a')=l}$ et ${\displaystyle g(b')=L}$. D'après le théorème des bornes, ${\displaystyle g}$ est bornée, donc l'ensemble ${\displaystyle f\left(\left]a,b\right[\right)=g\left(\left]a',b'\right[\right)}$ est borné.

2) Même si ${\displaystyle l}$ ou ${\displaystyle L}$ est infinie, ${\displaystyle \arctan \circ f\circ \tan }$ s'étend en une fonction ${\displaystyle h}$ continue sur ${\displaystyle \left[a',b'\right]}$ et si ${\displaystyle y}$ est strictement compris entre ${\displaystyle l}$ et ${\displaystyle L}$ alors ${\displaystyle \arctan y}$ est strictement compris entre ${\displaystyle \arctan l=h(a')}$ et ${\displaystyle \arctan L=h(b')}$. On peut donc lui appliquer le théorème des valeurs intermédiaires usuel :

${\displaystyle \exists c'\in \left]a',b'\right[\quad \arctan y=h(c')}$

d'où, en posant ${\displaystyle c=\tan(c')}$ :

${\displaystyle c\in \left]a,b\right[{\text{ et }}y=f(c)}$.

3) La fonction ${\displaystyle h}$ atteint ses bornes et, puisqu'on suppose ici ${\displaystyle l=L}$, vérifie : ${\displaystyle h(a')=h(b')}$. Si de plus ${\displaystyle \inf f<l=L}$, c'est-à-dire ${\displaystyle \min h<h(a')=h(b')}$, alors ${\displaystyle h}$ atteint son minimum en un point ${\displaystyle c'\in \left]a',b'\right[}$, et ${\displaystyle f}$ atteint son minimum en ${\displaystyle c:=\tan c'}$. De même, si ${\displaystyle \sup f>l=L}$ alors ${\displaystyle h}$ atteint son maximum en un point ${\displaystyle c'\in \left]a',b'\right[}$, et ${\displaystyle f}$ atteint son maximum en ${\displaystyle c:=\tan c'}$. Dans le cas restant, ${\displaystyle h}$ est constante donc ${\displaystyle f}$ aussi.