Définition et interprétation graphique
Une fonction définie sur un intervalle est dite convexe sur si :
.
Pour que l'inégalité ci-dessus soit vraie pour tous et tout , il suffit qu'elle le soit lorsque et .
Interprétation graphique : Cela signifie que, si et sont deux points de la courbe représentative de , alors le segment est au-dessus de l'arc de la courbe de .
Convexité et continuité
Soit une fonction définie sur un intervalle . Si est convexe alors, pour tous dans :
et par conséquent,
.
Réciproquement, si l'une des trois inégalités est vérifiée pour tous dans alors est convexe.
Pour tous tels que , chacune de ces trois inégalités se réécrit :
- .
Elles sont donc équivalentes.
Par ailleurs, pour tous tels que , on a :
- ;
- est strictement compris entre et si et seulement si .
Par conséquent, l'une des trois inégalités est vérifiée pour tous tels que si et seulement si, pour tous dans et tout , , c'est-à-dire si est convexe.
L'inégalité des pentes est utilisée pour démontrer la propriété suivante, admise car de niveau supérieur à celui de ce chapitre.
Toute fonction convexe sur un intervalle ouvert est continue.
Convexité et dérivabilité
On déduit finalement de cette étude les propriétés utilisées en pratique pour caractériser les fonctions convexes dérivables :
Une fonction dérivable sur un intervalle est convexe si et seulement si sa dérivée est croissante sur .
Mais il y aussi son corollaire, qui est la propriété la plus utile en pratique :
Soit une fonction deux fois dérivable sur un intervalle .
.
Cette propriété et ce corollaire sont démontrés dans la leçon spécialisée : Fonctions convexes.