Fonction exponentielle/Propriétés algébriques de l'exponentielle

Lorsqu'on définit la fonction exponentielle à partir de la fonction logarithme, on en déduit immédiatement (cf. chap. 2) les propriétés algébriques ci-dessous. Lorsqu'on définit $\exp$ comme solution d'une équation différentielle, on parvient à les démontrer directement.

Propriété fondamentale

Propriété

\forall a,b\in \mathbb {R} \quad \exp(a+b)=\exp(a)\times \exp(b)

.

Démonstration

Posons, pour $y$ fixé, $\phi :x\mapsto {\frac {\exp(x+y)}{\exp y}}$ (on sait depuis le chapitre 1 que $\exp y\neq 0$ ). Alors, $\phi (0)=1$ et pour tout x : $\phi '(x)={\frac {\exp '(x+y)}{\exp y}}={\frac {\exp(x+y)}{\exp y}}=\phi (x)$ . D'après ce théorème, pour tout $x,~\phi (x)=\exp(x)$ .

On a bien montré que pour tous x et y, $\exp(x+y)=\exp(x)\times \exp(y)$ .

Les fonctions continues vérifiant cette même équation fonctionnelle seront étudiées au chapitre 8. On verra qu'elles coïncident avec les solutions de l'équation différentielle générale rencontrées au chapitre 1.

Conséquences

Les formules suivantes se déduisent de la propriété algébrique fondamentale.

Propriété

Pour tous réels $a$ et $b$ , $\exp(a-b)={\frac {\exp a}{\exp b}}$ .
Pour tout réel $x$ et tout entier relatif $n$ , $\exp(nx)=(\exp x)^{n}$ .

Démonstration

Soient $a,b\in \mathbb {R}$ . On sait (chap. 1) que $\exp(-b)=1/\exp b$ . On en déduit :
${\begin{aligned}\exp(a-b)&=\exp(a+(-b))\\&=\exp(a)\times \exp(-b)\\&={\frac {\exp a}{\exp b}}.\end{aligned}}$
Soit $x\in \mathbb {R}$ $x\in \mathbb{R}$ :
- On note, pour tout $n\in \mathbb {N}$ la propriété ${\mathcal {H}}_{n}$ : « $\exp(nx)=(\exp x)^{n}$ »
- Initialisation : Pour n = 0, $\exp 0=1=(\exp x)^{0}$ donc ${\mathcal {H}}_{0}$ est vraie
- Soit $n\in \mathbb {N}$ tel que ${\mathcal {H}}_{n}$ soit vraie
  ${\begin{aligned}(\exp x)^{n+1}&=(\exp x)^{n}\times \exp x\\&=\exp(nx)\times \exp(x){\text{ par }}{\mathcal {H}}_{n}\\&=\exp(nx+x)\\&=\exp((n+1)x)\end{aligned}}$
- Donc ${\mathcal {H}}_{n+1}$ est vraie.
Le principe de récurrence permet de conclure que pour tout $n\in \mathbb {N} ,~\exp(nx)=(\exp x)^{n}.$
On en déduit (en utilisant à nouveau l'égalité $\exp(-b)=1/\exp b$ ) que pour $p=-n$ (entier négatif), on a encore $\exp(px)=(\exp x)^{p}$ .

Notation

Le nombre

\mathrm {e}

Le réel

\mathrm {e

s’appelle la constante de Néper.

Remarque

Une autre définition de ce nombre est donnée dans la leçon sur la fonction logarithme. Compte tenu du lien entre cette fonction et la fonction exponentielle (chap. 2), ces deux définitions sont équivalentes.

Notation

Pour tout réel $x$ ,

\exp(x)

est aussi noté

\mathrm {e} ^{x}

.

Cette notation étend donc aux exposants réels celle des puissances entières, de façon compatible d'après la propriété algébrique ci-dessus : le nombre $\mathrm {e}$ élevé à une puissance entière $n$ est bien égal à $\exp(n)$ . Cette propriété s'étend même au cas où $n$ est un rationnel.

Application

Soit x tel que e^x = 3,56. Calculer e^2x+3 sans calculer x.

Solution

$\mathrm {e} ^{2x}=\left(\mathrm {e} ^{x}\right)^{2}=12,6736$
$\mathrm {e} ^{3}\approx 20,0855$
Donc $\mathrm {e} ^{2x+3}=\mathrm {e} ^{2x}\times \mathrm {e} ^{3}\approx 254,5561$ .

Déterminer une valeur approchée de $\mathrm {e} ^{\frac {1}{2}}$ sans utiliser la touche « e^x » de la calculatrice.

Solution

$\mathrm {e} ^{\frac {1}{2}}$ est positif (c'est le carré de $\mathrm {e} ^{\frac {1}{4}}$ ) et son carré est égal à $\mathrm {e}$ , donc $\mathrm {e} ^{\frac {1}{2}}={\sqrt {\mathrm {e} }}\approx {\sqrt {2{,}718}}\approx 1{,}65$ .

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