Fonction exponentielle/L'exponentielle comme fonction réciproque du logarithme népérien

Cette section nécessite des connaissances sur la fonction logarithme. Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.

Ce chapitre présente une définition alternative de la fonction exponentielle, à partir du logarithme népérien, lui-même défini comme la primitive qui s'annule au point $1$ de la fonction $x\mapsto 1/x$ . Nous admettrons que ces deux définitions sont équivalentes. La démonstration nécessite le théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque (niveau 14).

Exponentielle et logarithme népérien

Définition

Rappel : Tableau de variations de $\ln$

${\begin{array}{c|ccc|}y&0&&+\infty \\\hline &&&+\infty \\{\text{Variations de }}\ln(y)&&\nearrow &\\&-\infty &&\end{array}}$

Définition

On appelle exponentielle d'un réel $x$ , et l'on note $\exp x$ , l’unique réel $y>0$ tel que $\ln y=x$ . Autrement dit, $\exp x$ est défini par :

\ln \left(\exp x\right)=x

.

Propriétés élémentaires

Propriété

Pour tout réel $y>0$ ,
$\exp(\ln y)=y$ .
$\exp(0)=1$ .
Pour tous réels $a$ $a$ et $b$ $b$ :
- $\exp(a+b)=\exp a\exp b$ ;
- $\exp(a-b)={\frac {\exp a}{\exp b}}$ ;
- pour tout rationnel $r$ , $\exp(ra)=(\exp a)^{r}$ .

Démonstration

Soit $x=\ln y$ . Alors, $y=\exp x=\exp(\ln y)$ .
En particulier, $\exp(0)=\exp(\ln 1)=1$ .
Les autres propriétés résultent des propriétés algébriques correspondantes du logarithme. Par exemple pour la première : en posant $c=\exp a$ et $d=\exp b$ , on trouve $\ln(cd)=\ln(c)+\ln(d)=a+b$ donc $\exp(a+b)=cd$ .

Application

L'exponentielle permet de résoudre des équations quand l'inconnue est dans un logarithme.

Résoudre de manière approchée l’équation $\ln(x)=5,2$

Solution

$x=\exp(5,2)\approx 181,27$

Résoudre de manière approchée l’équation $\exp(x)=5,2$

Solution

$x=\ln(5,2)\approx 1,649$

Déterminer une valeur approchée de $\exp \left({\frac {1}{2}}\right)$ sans utiliser la touche « e^x » de la calculatrice.

Solution

On sait que $\ln \left(\exp \left({\frac {1}{2}}\right)\right)={\frac {1}{2}}$

On tâtonne donc pour trouver un nombre dont le logarithme népérien vaut ${\frac {1}{2}}$ . Avec un peu de patience, on finit par trouver que $1,64\leq e^{\frac {1}{2}}\leq 1,65$ .

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