Fonction logarithme/Propriétés algébriques du logarithme

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Propriété fondamentale du logarithme népérien

À partir de la définition du logarithme comme la primitive sur $\left]0,+\infty \right[$ , s'annulant en $1$ , de la fonction inverse, on peut démontrer la propriété algébrique suivante.

Théorème

\forall a,b\in \left]0,+\infty \right[\quad \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)

.

Démonstration

Pour $a>0$ fixé, la dérivée de la fonction composée $x\mapsto \ln(ax)$ (définie sur $\left]0,+\infty \right[$ ) est

x\mapsto a\ln '(ax)={\frac {a}{ax}}={\frac {1}{x}}=\ln '(x)

donc il existe un une constante réelle $k$ telle que

\forall x>0\quad \ln(ax)=k+\ln(x)

.

Pour $x=1$ , on obtient

\ln(a1)=k+\ln(1)

, c'est-à-dire

\ln a=k

et l'on a bien :

\forall x>0\quad \ln(ax)=\ln(a)+\ln(x)

.

Exemple

Calculer séparément à la calculatrice :

$\ln(2)+\ln(3)$
$\ln(6)$ .

Conséquences

Corollaire

Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ :

$\ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b)$
$\forall r\in \mathbb {Q} \quad \ln(a^{r})=r\ln(a)$ .

(Si $r=p/q$ avec $p$ et $q$ entiers, $a^{p/q}$ est par définition égal à ${\sqrt[{q}]{a^{p}}}=\left({\sqrt[{q}]{a}}\right)^{p}$ .)

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