Fonction exponentielle/Annexe/Activité d'introduction

La fonction carré

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb {R}$ par $f:x\mapsto x^{2}$ .

Donner l’expression de $f'$ .
Donner une relation entre $f'$ et $f$ .

Cette relation peut-être vue comme une équation différentielle dont l'inconnue est une fonction (ici $f$ , notée plus généralement $y$ ), dont la fonction carré est solution.

Solution

Pour tout $x\in \mathbb {R}$ , $f'(x)=2x$ .
$f=\left({\frac {f'}{2}}\right)^{2}$ . La fonction carré est donc solution de l'équation différentielle $y'^{2}=4y$ d'inconnue $y$ .

La fonction inverse

On définit la fonction $f$ sur $\mathbb {R} ^{*}$ par $f:x\mapsto {\frac {1}{x}}$ .

Donner l’expression de $f'$ .
Donner une équation différentielle d'inconnue y, dont la fonction inverse est solution.

Solution

Pour tout $x\in \mathbb {R} ^{*}$ , $f'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}$ .
$f'=-f^{2}$ . La fonction inverse est donc solution de l'équation différentielle $y'=-y^{2}$ .

La fonction cosinus

Donner les expressions de $\cos '$ et $\cos ''$ .
Donner une équation différentielle d'inconnue y dont la fonction cosinus est solution, en utilisant l’expression de $\cos ''$ .

Solution

$\cos '(x)=-\sin$ donc $\cos ''=-\sin '=-\cos$ .
$\cos ''=-\cos$ . La fonction cosinus est donc solution de l'équation différentielle $y''=-y$ .

Exponentielle

Supposons qu’il existe une fonction $f$ qui vérifie l'équation différentielle $f'=f$ sur $\mathbb {R}$ et supposons que $f(0)=1$

Expliquer pourquoi cette fonction $f$ sera nécessairement croissante.
Que penser de sa « vitesse de croissance » ?

Solution

Montrons par l'absurde que $f\geq 0$ (ainsi, on aura $f'\geq 0$ , c'est-à-dire $f$ croissante). Supposons donc qu'il existe un réel $b$ , par exemple positif (le cas négatif est analogue), tel que $f(b)<0$ . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe entre $0$ et $b$ des réels $c$ tels que $f(c)=0$ . Considérons le plus grand d'entre eux (son existence n'est pas immédiate mais est démontrée au niveau 14). Alors, sur $[c,b]$ , $f'=f\leq 0$ donc $f$ est décroissante, ce qui contredit $f(c)=0>f(b)$ .
Si $f(0)=1$ , on aura $f'(0)=1$ , ce qui implique que la fonction est croissante au voisinage de 0. Lorsque x grandit, f(x) devient « encore plus positif ». Comme la fonction est croissante et égale à sa propre dérivée, la pente de la tangente à la courbe de f est également croissante, ce qui signifie que la courbe se met à monter de plus en plus rapidement. La vitesse de croissance est alors extrêmement grande.

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