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Ce chapitre est d'un niveau strictement supérieur à celui de cette leçon. |
Dérivée d'une fonction composée
Théorème
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Si est dérivable sur et est dérivable sur
alors la composée est dérivable sur et :
.
Ce théorème sera démontré dans le chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle.
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Lorsqu'on utilise ce genre de théorème, il faut être particulièrement vigilant aux domaines de définition et de dérivabilité. Nous allons le voir sur quelques exemples. |
Exemple 1
![](../../I/Oxygen480-apps-preferences-desktop-icons.svg.png.webp)
Soit la fonction définie sur par . Dériver .
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- Faire le schéma décomposant en deux étapes.
- Identifier et .
- Vérifier les domaines de définition et de dérivabilité de et calculer sa dérivée .
- Vérifier les domaines de définition et de dérivabilité de et calculer sa dérivée .
- Exprimer à l'aide du théorème.
Le schéma est
et se ramène à
Les deux fonctions mises en jeu sont alors :
- ;
- .
On a bien .
- est définie et dérivable sur et, pour tout , .
- est définie et dérivable sur et et, pour tout , .
- On applique la formule du théorème :
- Pour tout :
Finalement, pour tout , . |
Exemple 2
![](../../I/Oxygen480-apps-preferences-desktop-icons.svg.png.webp)
Soit la fonction définie par .
- Déterminer les domaines de définition et de dérivabilité et de .
- Dériver .
Domaine de définition
Une racine carrée est définie si et seulement si son contenu est positif.
Une étude de la fonction du second degré donne le tableau de signes suivant :
Donc est définie sur . |
Étude de la dérivabilité
Le schéma est
et se ramène à
Les deux fonctions mises en jeu sont alors : et .
On a bien
- est définie et dérivable sur et, pour tout , .
- est définie sur , mais n'est dérivable que sur .
- Pour avoir la dérivabilité de , il faut donc retirer tous les points pour lesquels , c'est-à-dire 1 et 2.
Finalement, est dérivable sur |
- On applique la formule du théorème :
- Pour tout :
Finalement, pour tout , . |
Autres exemples
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Dériver les fonctions suivantes en utilisant la formule de composition en précisant le domaine sur lequel cette dérivation est valable :
- ;
- .
Étude de
Une racine carrée est définie dans si et seulement si son contenu est positif.
Une étude de la fonction du second degré montre que, pour tout , .
Pour des rappels sur l'étude du signe d'expressions du second degré, se reporter au cours sur les fonctions et équations du second degré.
Donc est définie sur |
Le schéma est
et se ramène à
Les deux fonctions mises en jeu sont alors :
- ;
- .
On a bien .
- est définie et dérivable sur et, pour tout , .
- est définie sur , mais n'est dérivable que sur .
- Pour avoir la dérivabilité de , il faut vérifier que ne s'annule pas sur , ce qui est vrai.
Finalement, est dérivable sur . |
- On applique la formule du théorème :
- Pour tout :
Finalement, pour tout , |
Étude de
Soit .
Donc est définie sur . |
Le schéma est
et se ramène à
Les deux fonctions mises en jeu sont alors :
- ;
- .
On a bien .
- est définie et dérivable sur et, pour tout , .
- est définie et dérivable sur
- Pour avoir la définition et la dérivabilité de , il faut donc retirer tous les points pour lesquels , c'est-à-dire .
Finalement, est dérivable sur . |
- On applique la formule du théorème :
- Pour tout :
Finalement, pour tout , |
Conséquences : formules de dérivation
Soit une fonction définie sur un domaine à valeurs dans
On obtient les formules de dérivation de composées suivantes :
Si de plus, pour tout ,
Soit , avec .
- avec .
Or
et avec la formule de dérivation d'une fonction composée :
donc
- .