Fonction dérivée/Dérivée d'un produit

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Théorème

Théorème

La dérivée d'une fonction produit $f=u\times v$ est : $f'=u'\times v+u\times v'$ .

Exemples

$f:x\mapsto (5x^{2}+3).(2x+3)$

Pour tout

x\in \dots

:

{\begin{cases}u(x)=\ldots \\v(x)=\ldots \\u'(x)=\ldots \\v'(x)=\ldots \\f'(x)=\ldots .\end{cases}}

f'(3)=\ldots

.

Solution

Pour tout $x\in \mathbb {R}$ :

u(x)=5x^{2}+3,\quad v(x)=2x+3,\quad u'(x)=10x,\quad v'(x)=2

et

{\begin{aligned}f'(x)&=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\&=10x(2x+3)+2(5x^{2}+3)\\&=20x^{2}+30x+10x^{2}+6\\&=6(5x^{2}+5x+1).\end{aligned}}

$f'(3)=366$ .

Mêmes questions pour $f:x\mapsto \left(-{\frac {5}{2}}x+3\right)\left(2x^{3}-5\right)$ .

Solution

Pour tout $x\in \mathbb {R}$ :

u(x)=-{\frac {5}{2}}x+3,\quad v(x)=2x^{3}-5,\quad u'(x)=-{\frac {5}{2}},\quad v'(x)=6x^{2}

et

{\begin{aligned}f'(x)&=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\&=-{\frac {5}{2}}(2x^{3}-5)+6x^{2}\left(-{\frac {5}{2}}x+3\right)\\&=-5x^{3}+{\frac {25}{2}}-15x^{3}+18x^{2}\\&=-20x^{3}+18x^{2}+{\frac {25}{2}}.\end{aligned}}

$f'(3)=-{\frac {731}{2}}$ .

Mêmes questions pour $f:x\mapsto x{\sqrt {x}}$ (voir Fonction_dérivée/Dérivées_usuelles#Fonction_racine_carrée).

Solution

Pour tout $x\in ]0,+\infty [$ :

u(x)=x,\quad v(x)={\sqrt {x}},\quad u'(x)=1,\quad v'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}

et

{\begin{aligned}f'(x)&=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\&={\sqrt {x}}+{\frac {x}{2{\sqrt {x}}}}\\&={\sqrt {x}}+{\frac {\sqrt {x}}{2}}={\frac {3}{2}}{\sqrt {x}}.\end{aligned}}

$f'(3)={\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}$ .

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