Fonction dérivée/Équation d'une tangente

Exemple

On a tracé la courbe représentative d'une fonction ƒ dont on ne précise pas la formule algébrique.

On donne :

$f(-2)=-{\frac {1}{4}}$ et $f'(-2)=-{\frac {3}{8}}$

Tracer la tangente à la courbe de ƒ au point $\left(-2,-{\frac {1}{4}}\right)$

Solution

Calculer une équation de cette tangente en utilisant la formule donnant l'équation d'une droite connaissant un point et le coefficient directeur.

Solution

On pose $y=ax+b$ l'équation de la tangente à la courbe de ƒ au point d'abscisse -2.
On sait que le nombre dérivé de ƒ en -2 vaut $-{\frac {3}{8}}$ , donc $a=-{\frac {3}{8}}$
La droite passe par le point de coordonnées $\left(-2,-{\frac {1}{4}}\right)$ , donc $-{\frac {3}{8}}\times (-2)+b=-{\frac {1}{4}}$

On aboutit à

b=-1

.

Finalement, l'équation de la tangente à la courbe de ƒ au point d'abscisse -2 est $y=-{\frac {3}{8}}x-1$

Équation d'une tangente

On adapte la formule utilisée précédemment de façon à obtenir une formule donnant directement l'équation de la tangente à une courbe connaissant le nombre dérivé et la valeur de la fonction au point considéré.

Théorème

Si $f$ est dérivable en $a$ , alors

l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point $(a,f(a))$ est :

y=f'(a)(x-a)+f(a)

.

Démonstration

La tangente est la droite passant par le point $(a,f(a))$ et de coefficient directeur $f^{\prime }(a)$ .

Un autre point $(x,y)$ appartient à cette droite si et seulement si :

{\frac {y-f(a)}{x-a}}=f'(a)

,

c'est-à-dire

y-f(a)=f'(a)(x-a)

.

La tangente a donc bien pour équation

y=f'(a)(x-a)+f(a)

.

Complément : si $\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=+\infty$ ou $-\infty$ alors $f$ n’est pas dérivable en $a$ , mais la courbe a encore une tangente au point $(a,f(a))$ : la droite verticale d'équation $x=a$ .

Approximation affine d'une fonction dérivable en un point

Voir les exercices sur : Approximation affine locale.

Pour $x$ voisin de $a$ , $f(x)$ est proche de la fonction affine $g(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ (la courbe est très proche de sa tangente).

Définition

Une approximation affine de $f$ au voisinage de $a$ est donnée par : $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$ .

Cette approximation ne peut être faite qu'au voisinage du point d'abscisse

a

car elle traduit le fait que, au voisinage de

a

, la courbe de ƒ peut être assimilée à sa tangente avec peu d'erreur.

Cette propriété est utile pour les méthodes de résolution numérique d'équations différentielles comme la méthode d'Euler.

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