1. Pour tout ${\displaystyle x\in [2;6],~C_{app}(x)={\frac {15}{4}}x+26}$

2. Les graphes des fonctions sont :

On remarque qu'aux alentours du point d'abscisse x = 4, les deux courbes sont très proches. En s'éloignant de ce point, l'écart augmente.

3.a. Pour tout ${\displaystyle x\in [2;6],~C'(x)={\frac {3}{4}}x^{2}-6x+{\frac {63}{4}}}$

3.b. On a : ${\displaystyle C(4)=41}$ ${\displaystyle C'(4)={\frac {15}{4}}}$

d'où l'équation de la tangente à la courbe de C au point d'abscisse 4 :

Pour tout ${\displaystyle x\in [2;6],~C_{app}(x)=C'(4)(x-4)+C(4)={\frac {15}{4}}x+26}$

4. On aboutit aux expressions suivantes

Pour tout ${\displaystyle x\in [2;6],~e(x)={\frac {x^{3}}{4}}-3x^{2}+12x-16}$

La fonction e est dérivable sur ${\displaystyle [2;6]}$ et, pour tout ${\displaystyle x\in [2;6],~e'(x)={\frac {3}{4}}x^{2}-6x+12}$

On cherche alors à étudier le signe de e'. Pour cela, écrivons que pour tout ${\displaystyle x\in [2;6]}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}e'(x)&={\frac {3}{4}}x^{2}-6x+12\\&={\frac {3}{4}}\left(x^{2}-8x+16\right)\\&={\frac {3}{4}}(x-4)^{2}\end{aligned}}}$

On aboutit au tableau de signes suivant :

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc|}x&2&&4&&6\\\hline {\textrm {Signe~de}}~e'(x)&&+&0&+&\\\hline &&&&&2\\&&&&\nearrow &\\{\textrm {Variations~de}}~e&&&0&&\\&&\nearrow &&&\\&-2&&&&\\\hline \end{array}}}$

5. On a : ${\displaystyle C(2)={\frac {63}{2}}}$ ${\displaystyle C(6)={\frac {101}{2}}}$

L'erreur en pourcentage est donnée par ${\displaystyle \epsilon :x\mapsto \left|{\frac {e(x)}{C(x)}}\right|}$, définie sur ${\displaystyle [2;6]}$

L'erreur maximale est obtenue en x = 2 (plus grande valeur de ${\displaystyle e(x)}$ pour la plus petite valeur de ${\displaystyle C(x)}$) et vaut :

${\displaystyle \epsilon _{max}=\left|{\frac {e(2)}{C(2)}}\right|\approx 6,3\%}$