On appelle projecteur orthogonal sur F, et l'on note ${\displaystyle p_{F}}$, le projecteur sur F parallèlement à ${\displaystyle F^{\perp }}$.

Soient ${\displaystyle x,y\in E}$ :

• ${\displaystyle \|p_{F}(x)\|\leq \|x\|}$ ;
• ${\displaystyle \|p_{F}(x)\|=\|x\|\Leftrightarrow x\in F}$ ;
• ${\displaystyle \langle p_{F}(x)|y\rangle =\langle p_{F}(x)|p_{F}(y)\rangle }$.

Si F est de dimension n et si e est une base orthonormée de F alors

${\displaystyle \forall x\in E\quad p_{F}(x)=\sum _{i=1}^{n}\langle e_{i}|x\rangle e_{i}}$.

Soit ${\displaystyle x\in E}$.

• La distance de ${\displaystyle x}$ à ${\displaystyle F}$ vaut ${\displaystyle d(x,F)=\|x-p_{F}(x)\|}$.
• ${\displaystyle d(x,F)^{2}=\|x\|^{2}-\|p_{F}(x)\|^{2}}$.
• ${\displaystyle p_{F}(x)}$ est l'unique vecteur y de F vérifiant ${\displaystyle \|x-y\|=d(x,F)}$.

Soit ${\displaystyle (F_{i})_{1\leq i\leq r}}$ une famille de r sous-espaces vectoriels de E, orthogonaux deux à deux et telle que ${\displaystyle E=\bigoplus _{i=1}^{r}F_{i}}$.

On note ${\displaystyle (p_{i})_{1\leq i\leq r}}$ la famille de projecteurs orthogonaux associés à cette décomposition, c'est-à-dire que ${\displaystyle \forall i,~p_{i}}$ est le projecteur orthogonal sur F_i.

${\displaystyle {\rm {Id}}_{E}=\sum _{i=1}^{r}p_{i}}$.

${\displaystyle \forall x\in E\quad \|x\|^{2}=\sum _{i=1}^{r}\|p_{i}(x)\|^{2}}$.