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On travaille dans muni du produit scalaire
On pose le n-ième polynôme de Legendre :
1. Vérifier que est bien un produit scalaire sur E.
2. Calculer λ₀, λ₁, λ₂ et λ₃.
3. Montrer que est une famille orthonormale de pour le produit scalaire .
4.Montrer que , λn vérifie l'équation différentielle
5. Montrer que λ vérifie l'équation
Solution
1. On reconnait dans le produit scalaire usuel sur .
2. Les calculs donnent :
- ,
- ,
- ,
- .
3. Soient n et p deux entiers. On a :
- .
En faisant une intégration par parties, il vient :
- .
Là, on remarque que le polynôme admet -1 et 1 comme racines, d'ordre p, donc , et donc le terme entre crochets est nul. On démontrera la dernière égalité par récurrence.
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