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On travaille dans muni du produit scalaire .
On définit, pour tout , le n-ième polynôme de Laguerre par :
- .
- Vérifier que est bien un produit scalaire sur E.
- Calculer L₀, L₁, L₂ et L₃.
- Montrer que est une famille orthonormale de
- Montrer que pour tout , Ln vérifie l'équation différentielle .
- Montrer que L vérifie l'équation .
Solution des questions 1 et 2
-
- Pour tout est intégrable sur , donc est bien défini.
- La linéarité de l'intégrale donne la bilinéarité de .
- La symétrie et la positivité sont triviales.
- Soit tel que . La fonction est continue, positive et d'intégrale sur nulle, donc elle est identiquement nulle, c'est-à-dire P = 0.
- On a montré que était bilinéaire, symétrique, définie positive. Donc est un produit scalaire sur E.
-
Absence de solution des questions 3 à 5
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?
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