En multipliant les deux membres par ${\displaystyle 2}$ puis en leur ajoutant ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}$, l'inégalité à démontrer est :

${\displaystyle 2\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\leq n\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}$,

ou encore :

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}\leq n\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}$.

C'est le cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz correspondant aux vecteurs ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ et ${\displaystyle (1,\dots ,1)}$, dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ muni de son produit scalaire usuel.

Par exemple, pour ${\displaystyle n=3}$, on obtient :

${\displaystyle \forall (a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}\qquad ab+ac+bc\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}}$.