1. On reconnait ${\displaystyle (\cdot |\cdot )}$ comme étant la restriction du produit scalaire canonique sur ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {R} )}$ :
   • la bilinéarité vient de la linéarité de la dérivation et de l'intégrale ;
   • la symétrie est évidente ;
   • cette forme est définie positive car pour toute fonction ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {R} )}$ non nulle, ${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(f^{2}+f'^{2}\right)>0}$.

   ${\displaystyle (\cdot |\cdot )}$ est donc bien un produit scalaire sur ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {R} )}$ et, par restriction, sur E. On pourrait d'ailleurs remplacer partout dans l'énoncé ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}([0,1],\mathbb {R} )}$ par ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}([0,1],\mathbb {R} )}$ (la définition de ${\displaystyle W}$ garde un sens et ses éléments sont automatiquement de classe ${\displaystyle C^{\infty }}$) sans changer un iota de ce qui suit.

2. 1. Soient ${\displaystyle v\in V}$ et ${\displaystyle w\in W}$. Une intégration par parties donne :

      ${\displaystyle (v|w)=\left[vw'\right]_{0}^{1}+\int _{0}^{1}\left(vw-vw''\right)=0+\int _{0}^{1}v\left(w-w''\right)=0}$.

   2. Soit ${\displaystyle f\in E}$. Notons ${\displaystyle \alpha =f(0),\beta =f(1)}$, et cherchons ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {R} }$ tels que la fonction ${\displaystyle g:x\mapsto \lambda \operatorname {e} ^{x}+\mu \operatorname {e} ^{-x}}$ (qui appartient à ${\displaystyle W}$ donc à ${\displaystyle V^{\perp }}$) vérifie : ${\displaystyle f-g\in V}$. Ainsi, ${\displaystyle f-g}$ sera le projeté orthogonal de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle V}$ (et cela prouvera de plus que ${\displaystyle V}$ et ${\displaystyle W}$ sont non seulement orthogonaux, mais supplémentaires). La condition sur ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ est :

      ${\displaystyle \lambda +\mu =\alpha }$ et ${\displaystyle \lambda \mathrm {e} +\mu \operatorname {e} ^{-1}=\beta }$

      donc la solution est :

      ${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathrm {e} \beta -\alpha }{\operatorname {e} ^{2}-1}},\quad \mu =\mathrm {e} \,{\frac {\mathrm {e} \alpha -\beta }{\operatorname {e} ^{2}-1}}}$.

3. Soit ${\displaystyle f\in F}$. Alors, ${\displaystyle F=f+V}$ donc

   ${\displaystyle \inf _{h\in F}\|h\|^{2}=d(0,F)^{2}=d(0,f+V)^{2}=d(-V,f)^{2}}$ est égal, avec les notations de la réponse 2.2, à

   ${\displaystyle \|g\|^{2}=\left[gg'\right]_{0}^{1}+\int _{0}^{1}g\left(g-g''\right)=\left[gg'\right]_{0}^{1}+0=\left(\lambda ^{2}\operatorname {e} ^{2}-\mu ^{2}\operatorname {e} ^{-2}\right)-\left(\lambda ^{2}-\mu ^{2}\right)={\frac {(\mathrm {e} \beta -\alpha )^{2}+(\mathrm {e} \alpha -\beta )^{2}}{\operatorname {e} ^{2}-1}}}$.

Fixons une base orthonormée d'un plan contenant ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$. La matrice dans cette base de la forme quadratique ${\displaystyle x\mapsto \langle x|a\rangle \langle x|b\rangle }$ (restreinte au plan) est diagonalisable dans une base orthonormée et ses deux valeurs propres sont (tous calculs faits) : ${\displaystyle {\frac {\langle a|b\rangle \pm \|a\|\|b\|}{2}}}$. Ce sont donc les valeurs minimum et maximum (atteintes) de la forme quadratique sur le cercle unité du plan, ou encore, de ${\displaystyle \varphi }$ sur ${\displaystyle E\setminus \{0\}}$.

1. L'application ${\displaystyle \left(P,Q\right)\mapsto \langle P,Q\rangle$ :=\int _{a}^{b}PQf} est un produit scalaire sur ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$. En appliquant à la base canonique ${\displaystyle \left(X^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ l'algorithme de Gram-Schmidt, on obtient une base ${\displaystyle (P_{n})}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ orthonormée pour ce produit scalaire.
2. Soit m ≤ n le nombre des points de ${\displaystyle \left]a,b\right[}$ où P_n change de signe ; notons ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m}}$ ces points (ce sont les racines de P_n d'ordre impair appartenant à ${\displaystyle \left]a,b\right[}$). On va montrer que m = n. Soit ${\displaystyle S(X)=\prod _{j=1}^{m}\left(X-x_{j}\right)}$ ; ce polynôme de degré m change de signe en chaque point x_j ; le polynôme SP_n est donc strictement positif, ou strictement négatif, partout sur ${\displaystyle \left]a,b\right[}$ sauf aux points x_j, et il en est donc de même du produit ${\displaystyle SP_{n}f}$. Ainsi, le réel ${\displaystyle \langle S,P_{n}\rangle }$ — l'intégrale de ce produit — est non nul. Mais par construction, P_n est orthogonal à tous les polynômes de degré inférieur, donc le degré de S doit être n.

On a évidemment ${\displaystyle N(f)>0}$ pour toute fonction ${\displaystyle f\in E}$ non nulle, et ${\displaystyle N(f)^{2}=B(f,f)}$, où ${\displaystyle B}$ est le produit scalaire défini par

${\displaystyle \forall (f,g)\in E^{2}~~B(f,g)=f(0)g(0)+\int _{0}^{1}f'(t)g'(t)\,\mathrm {d} t}$.