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Exercice 1-1

Les applications suivantes sont-elles des formes quadratiques ?

${\begin{array}{ccccc}Q&:&\mathbb {R} [X]&\to &\mathbb {R} \\~&~&P&\mapsto &2P(0)P(1)\end{array}}$
${\begin{array}{ccccc}Q&:&{\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&f&\mapsto &\int _{a}^{b}f^{2}\varphi \end{array}}\quad (\varphi \in {\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} ))$
${\begin{array}{ccccc}Q&:&\mathbb {R} ^{2}&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&(x,y)&\mapsto &x^{3}-2xy+y^{2}\end{array}}$

Solution de la question 1

On pose $f:(A,B)\mapsto {\frac {Q(A+B)-Q(A)-Q(B)}{2}}$ .
Soit $(A,B)\in \mathbb {R} [X]^{2}$ .
${\begin{aligned}f(A,B)&={\frac {Q(A+B)-Q(A)-Q(B)}{2}}\\&={\frac {2(A+B)(0)(A+B)(1)-2A(0)A(1)-2B(0)B(1)}{2}}\\&=A(0)B(1)+A(1)B(0).\end{aligned}}$
La fonction symétrique $f$ est bilinéaire et $Q(P)=f(P,P)$ . Donc $Q$ est une forme quadratique.

Solution de la question 2

On pose $F:(g,h)\mapsto {\frac {Q(g+h)-Q(g)-Q(h)}{2}}$ . Soit $(g,h)\in {\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )^{2}$ .

{\begin{aligned}F(g,h)&={\frac {Q(g+h)-Q(g)-Q(h)}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left((g+h)^{2}-g^{2}-h^{2}\right)\varphi \\&=\int _{a}^{b}gh\varphi .\end{aligned}}

La fonction symétrique $F$ est bilinéaire (par linéarité de l'intégrale) et $Q(f)=F(f,f)$ . Donc $Q$ est une forme quadratique.

Solution de la question 3

Non puisque $Q(2,0)\neq 4Q(1,0)$ .

Exercice 1-2

Soit $b$ la forme bilinéaire symétrique sur $\mathbb {R} ^{3}$ de matrice $M={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&5\end{pmatrix}}$ .

Quel est le noyau de $b$ , le rang de $b$ ?

Trouvez une base de l'orthogonal pour $b$ de

F=\operatorname {Vec} \left({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\right)\quad {\text{et de}}\quad G=\operatorname {Vec} \left({\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\right)

.

Comparer avec le théorème du cours sur la dimension de l'orthogonal.

Solution

Noyau : ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+y+z\\x+2y+3z\\x+3y+5z\end{pmatrix}}\Leftrightarrow y=-2x,\;z=x$ donc $\ker b$ est la droite vectorielle engendrée par le vecteur $(1,-2,1)$ .

D'après le théorème du rang, le rang de $b$ est donc $3-1=2$ .

$F^{\perp }=e_{1}^{\perp }\cap e_{3}^{\perp }=\ker b$ (car la 2^e colonne — ou ligne — de $M$ est la moyenne des deux autres).

$G^{\perp }=e_{2}^{\perp }\cap (e_{1}+e_{3})^{\perp }=$ le sous-espace d'équations $x+2y+3z=0,\;2x+4y+6z=0$ , qui est simplement le plan d'équation $x+2y+3z=0$ (donc engendré par les vecteurs $(-2,1,0)$ et $(-3,0,1)$ ).

Vérifions que

$\dim(F)+\dim(F^{\bot })=\dim(E)+\dim(E^{\bot }\cap F)$ : $2+1=3+0$ ;
$\dim(G)+\dim(G^{\bot })=\dim(E)+\dim(E^{\bot }\cap G)$ : $2+2=3+1$ ( $E^{\bot }\subset G$ ).

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