Soit ${\displaystyle f:E^{2}\to \mathbb {C} }$.

• ƒ est dite linéaire à droite si ${\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {C} ,~\forall (x,y,z)\in E^{3},~f(x,\lambda y+z)=\lambda f(x,y)+f(x,z)}$
• ƒ est dite semi-linéaire à gauche si ${\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {C} ,~\forall (x,y,z)\in E^{3},~f(\lambda x+y,z)={\bar {\lambda }}f(x,z)+f(y,z)}$

Si ƒ est linéaire à droite et semi-linéaire à gauche, on dit que ƒ est une forme sesquilinéaire.

Soit ${\displaystyle f:E^{2}\to \mathbb {C} }$

On dit que ƒ est à symétrie hermitienne si ${\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2}\quad f(y,x)={\overline {f(x,y)}}}$.

Une forme hermitienne est une forme sesquilinéaire à symétrie hermitienne.

Soit ƒ une forme hermitienne sur E.

On définit l’application ${\displaystyle q:E\to \mathbb {R} }$ par

${\displaystyle q(x)=f(x,x)}$.

q est appelée forme quadratique (hermitienne) associée à ƒ.

ƒ est appelée forme polaire associée à q.

${\displaystyle {\begin{array}{ccccl}f&:&\mathbb {C} [X]^{2}&\to &\mathbb {C} \\~&~&(P,Q)&\mapsto &{\overline {P(0)}}Q(1)+{\overline {P(1)}}Q(0)\end{array}}}$

ƒ est une forme hermitienne.

Sa forme quadratique associée est :

${\displaystyle {\begin{array}{ccccl}q&:&\mathbb {C} [X]&\to &\mathbb {C} \\~&~&P&\mapsto &2\Re ({\overline {P(0)}}P(1))\end{array}}}$.

${\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2}}$ :

• ${\displaystyle q(x+y)=q(x)+q(y)+2\Re (f(x,y))}$
• ${\displaystyle q(x-y)=q(x)+q(y)-2\Re (f(x,y))}$
• ${\displaystyle q(x+iy)=q(x)+q(y)-2\Im (f(x,y))}$
• ${\displaystyle q(x-iy)=q(x)+q(y)+2\Im (f(x,y))}$.

${\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2}}$ :

${\displaystyle q(x+y)+q(x-y)=2(q(x)+q(y))}$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2}}\left[q(x+y)-q(x)-q(y)\right]+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\left[q(x)+q(y)-q(x+y)\right]}$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{4}}\left[q(x+y)-q(x-y)\right]+{\frac {\mathrm {i} }{4}}\left[q(x-\mathrm {i} y)-q(x+\mathrm {i} y)\right]}$.

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}(E)}$ est un ${\displaystyle \mathbb {R} }$-espace vectoriel.
• ${\displaystyle {\mathcal {QH}}(E)}$ est donc un ${\displaystyle \mathbb {R} }$-espace vectoriel.

La surjection ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linéaire

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}{\mathcal {H}}(E)&\rightarrow &{\mathcal {QH}}(E)\\f&\mapsto &q\end{array}}}$

est injective (donc bijective).