Espace euclidien/Exercices/Projection et symétrie orthogonales

Exercice 5-1

Soit ${\mathcal {B}}=(e_{1},e_{2},e_{3})$ une base orthonormée d'un espace vectoriel euclidien $E$ . Soit $p$ l'endomorphisme dont la matrice dans la base ${\mathcal {B}}$ est

M={\frac {1}{11}}{\begin{pmatrix}2&-3&3\\-3&10&1\\3&1&10\end{pmatrix}}

.

Montrer que $p$ est une projection orthogonale et préciser sa « base » $\operatorname {Im} p$ .

Solution

L'ensemble des vecteurs fixes par $p$ est le plan $F$ d'équation $3x+y-z=0$ et le vecteur normal $3e_{1}+e_{2}-e_{3}$ appartient à $\ker p$ . Donc $p$ est la projection orthogonale sur $F$ .

Exercice 5-2

Soit ${\mathcal {B}}=(e_{1},e_{2},e_{3})$ une base orthonormée d'un espace vectoriel euclidien $E$ . Soit $F$ l'hyperplan de $E$ d'équation $x+2y-z=0$ dans la base ${\mathcal {B}}$ .

Montrer que la projection orthogonale sur $F$ a pour matrice dans la base ${\mathcal {B}}$ :

M={\frac {1}{6}}{\begin{pmatrix}5&-2&1\\-2&2&2\\1&2&5\end{pmatrix}}

.

Solution

L'endomorphisme de matrice $M$ dans ${\mathcal {B}}$ fixe tous les vecteurs de $F$ et envoie le vecteur normal $e_{1}+2e_{2}-e_{3}$ sur $0$ .

Exercice 5-3

On munit $E=\mathbb {R} _{n}[X]$ du produit scalaire $\varphi (P,Q)=\int _{0}^{1}P(x)Q(x)\,\mathrm {d} x$ . Soit $D\in E$ un polynôme de degré $d$ , avec $0<d\leq n$ . Pour tout $P\in E$ , on note $f(P)$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $D$ .

Montrer que $f$ est un projecteur de $E$ . Déterminer son noyau et son image.
On suppose que $d<n$ et que $f$ est une projection orthogonale. Montrer que pour tout $i\leq n-d$ et pour tout $j<d$ , on a $\varphi (DX^{i},X^{j})=0$ . En déduire que $\varphi (D,D)=0$ et donc $D=0$ .
On suppose que $d=n$ . Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit une projection orthogonale.

Solution

$f\circ f=f$ , $\ker f=\operatorname {Vect} (D,XD,X^{2}D,\dots ,X^{n-d}D)$ (l'ensemble des polynômes divisibles par $D$ et de degré $\leq n$ ) et $\operatorname {im} f=\mathbb {R} _{d-1}[X]$ .
Par hypothèse, $\ker f\perp \operatorname {im} f$ , c.-à-d. $\forall i\leq n-d,\forall j<d\quad 0=\varphi (X^{i}D,X^{j})=\int _{0}^{1}x^{i+j}D(x)\,\mathrm {d} x$ donc $\forall k<n\quad \int _{0}^{1}x^{k}D(x)\,\mathrm {d} x=0$ , autrement dit $D\perp \mathbb {R} _{n-1}[X]$ . En particulier (si $d<n$ ) $\varphi (D,D)=0$ donc $D=0$ (ce qui est absurde puisque par hypothèse, $D$ est de degré $d>0$ ; donc dans le cas $d<n$ , $f$ n'est jamais une projection orthogonale).
Si $d=n$ , les calculs précédent montrent que $f$ est une projection orthogonale si et seulement si $\forall k<n\quad \int _{0}^{1}x^{k}D(x)\,\mathrm {d} x=0$ .

Exercice 5-4

Soit $E=\mathrm {M} _{4}(\mathbb {R} )$ muni du produit scalaire $\varphi (P,Q)={\frac {1}{4}}\operatorname {trace} ({}^{\mathrm {t} }\!P\,Q)$ . Soient

U={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}},\qquad F=\operatorname {Vect} (I,U,U^{2},U^{3}),\qquad V={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&0&0&0\\1&0&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}

.

Montrer que $(I,U,U^{2},U^{3})$ est une base orthonormale de $F$ .
Déterminer la projection orthogonale de $V$ sur $F$ .
En déduire la distance de $V$ à $F$ .

Solution

$U$ est la matrice d'une permutation circulaire d'ordre $4$ donc pour tous $i,j\in \{0,1,2,3\}$ , le réel $\varphi (U^{i},U^{j})={\frac {1}{4}}\operatorname {trace} (U^{j-i})$ vaut $1$ si $i=j$ et $0$ sinon.
$p(V)=\sum _{i=0}^{3}\varphi (U^{i},V)U^{i}$ .
${}^{\mathrm {t} }\!U^{i}V=V$ donc $p(V)={\frac {1}{4}}\sum _{i=0}^{3}U^{i}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{pmatrix}}$ .
$d(V,F)=\|p(V)-V\|={\frac {1}{4}}\left\|{\begin{pmatrix}-3&1&1&1\\-3&1&1&1\\-3&1&1&1\\-3&1&1&1\end{pmatrix}}\right\|={\frac {1}{4}}{\sqrt {4(9+1+1+1)}}={\sqrt {3}}$ .

Exercice 5-5

On se place dans $\mathbb {R} ^{3}$ muni de son produit scalaire usuel. Pour quelles valeurs de $t\neq 0$ la matrice

M=-{\frac {2}{3}}{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&t&1\\t^{-1}&-{\frac {1}{2}}&t^{-1}\\1&t&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}

représente-t-elle (dans la base canonique de $\mathbb {R} ^{3}$ ) une symétrie orthogonale ?

Solution

$\ker(M-\mathrm {I} _{3})$ est le plan d'équation $x+ty+z=0$ et $\ker(M+\mathrm {I} )$ est la droite de vecteur directeur $(t,1,t)$ .

$M$ représente une symétrie orthogonale si et seulement si ces deux sous-espaces sont orthogonaux, c.-à-d. $(t,1,t)$ colinéaire à $(1,t,1)$ , ce qui équivaut à $t=\pm 1$ .

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