1. La sous-famille ${\displaystyle \left(\varphi _{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ est libre d'après la remarque préliminaire de ce chapitre, puisque ${\displaystyle \forall i,j\in \mathbb {N} \quad \varphi _{i}\left(\delta _{j,\cdot }\right)=\delta _{i,j}}$. Elle n'engendre pas ${\displaystyle \varphi _{\infty }}$ car la donnée d'un nombre fini de termes d'une suite convergente ne détermine pas sa limite.
2. ${\displaystyle \lambda _{i}:=\delta _{\infty ,i}}$ convient, puisque la suite réelle nulle n'a pas pour limite ${\displaystyle 1}$.

1. Pour ${\displaystyle n=0}$, il n'y a rien à faire. Supposons donc, pour un certain ${\displaystyle n>0}$, ${\displaystyle \left(x_{1},\dots ,x_{n-1}\right)}$ déjà construite (et vérifiant les équations jusqu'à ${\displaystyle n-1}$) et construisons une nouvelle famille ${\displaystyle \left(x'_{1},\dots ,x'_{n}\right)}$ vérifiant les équations jusqu'à ${\displaystyle n}$. Puisque la forme ${\displaystyle \psi$ :=\varphi _{n}-\sum _{i<n}\varphi _{n}\left(x_{i}\right)\varphi _{i}} est non nulle, il existe un vecteur ${\displaystyle y}$ tel que ${\displaystyle \psi (y)=1}$. Les vecteurs ${\displaystyle x'_{n}:=y-\sum _{i<n}\varphi _{i}\left(y\right)x_{i}}$ et ${\displaystyle \forall i<n\quad x'_{i}:=x_{i}-\varphi _{n}(x_{i})x'_{n}}$ vérifient alors les équations voulues.
2. Soient ${\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}\in E^{*}}$ telles que ${\displaystyle \cap _{i<n}\ker \varphi _{i}\subset \ker \varphi _{n}}$, montrons que ${\displaystyle \varphi _{n}}$ est combinaison linéaire de la famille ${\displaystyle \left(\varphi _{1},\dots ,\varphi _{n-1}\right)}$. Quitte à ôter de cette famille chaque forme qui est combinaison linéaire des précédentes (ce qui ne modifie pas l'intersection des noyaux), on peut la supposer libre. D'après la question 1, si ${\displaystyle \varphi _{n}}$ n'était pas combinaison linéaire de cette famille libre, il existerait ${\displaystyle x\in E}$ tel que ${\displaystyle \forall i\leq n\quad \varphi _{i}\left(x\right)=\delta _{i,n}}$, ce qui contredirait l'hypothèse ${\displaystyle \cap _{i<n}\ker \varphi _{i}\subset \ker \varphi _{n}}$.

Référence : Helmut H. Schaefer, Topological Vector Spaces, coll. « GTM » (n^o 3), 1999, 2^e éd. (1^re éd. 1966) [lire en ligne], p. 124 .

Voir aussi :

• Dany-Jack Mercier, Cours de géométrie: préparation au CAPES et à l'agrégation, Publibook, 2005 [lire en ligne], p. 54 , th. 25 ;
• Claude Chevalley, Fundamental Concepts of Algebra, Academic Press, 1957 [lire en ligne], p. 109 , th. 60.

Il suffit de trouver trois formes linéaires ${\displaystyle \varphi _{1}}$, ${\displaystyle \varphi _{2}}$ et ${\displaystyle \varphi _{3}}$ telles que ${\displaystyle \varphi _{i}(e_{j})=\delta _{i,j}}$ : cela prouvera que les trois vecteurs sont linéairement indépendants donc forment une base de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, et cela fournira en même temps la base duale.

[${\displaystyle \varphi _{1}(x,y,z)=ax+by+cz}$ avec ${\displaystyle a,b,c}$ tels que ${\displaystyle a+2b+4c=1}$, ${\displaystyle b+c=0}$ et ${\displaystyle a+b+c=0}$] équivaut à : [${\displaystyle a=0}$, ${\displaystyle b=-{\frac {1}{2}}}$ et ${\displaystyle c={\frac {1}{2}}}$], soit ${\displaystyle \varphi _{1}(x,y,z)={\frac {z-y}{2}}}$.

Par la même méthode, on trouve ${\displaystyle \varphi _{2}(x,y,z)=-{\frac {-2x+3y-z}{2}}}$ et ${\displaystyle \varphi _{3}(x,y,z)={\frac {2x+y-z}{2}}}$.

Par le même raisonnement que dans la première partie de l'exercice, il suffit — puisque ${\displaystyle \dim(E^{*})=3}$ — de construire trois vecteurs ${\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3}\in E}$ tels que ${\displaystyle \varphi _{i}(f_{j})=\delta _{i,j}}$.

[${\displaystyle f_{1}=ae_{1}+be_{2}+ce_{3}}$ avec ${\displaystyle a,b,c}$ tels que ${\displaystyle 2a+b+c=1}$, ${\displaystyle -a+2c=0}$ et ${\displaystyle a+3b=0}$] équivaut à : [${\displaystyle a={\frac {6}{13}}}$, ${\displaystyle b=-{\frac {2}{13}}}$ et ${\displaystyle c={\frac {3}{13}}}$], soit ${\displaystyle f_{1}={\frac {6e_{1}-2e_{2}+3e_{3}}{13}}}$.

Par la même méthode, on trouve ${\displaystyle f_{2}={\frac {-3e_{1}+e_{2}+5e_{3}}{13}}}$ et ${\displaystyle f_{3}={\frac {-2e_{1}+5e_{2}-e_{3}}{13}}}$.

1. Même raisonnement que ci-dessus.
   [${\displaystyle H_{1}=aX^{3}+bX^{2}+cX+d}$ avec ${\displaystyle a,b,c,d}$ tels que ${\displaystyle d=1}$, ${\displaystyle c=0}$, ${\displaystyle a+b+c+d=0}$ et ${\displaystyle 3a+2b+c=0}$] équivaut à : [${\displaystyle a=2}$, ${\displaystyle b=-3}$, ${\displaystyle c=0}$ et ${\displaystyle d=1}$], soit ${\displaystyle H_{1}=2X^{3}-3X^{2}+1}$.
   Par la même méthode, on trouve ${\displaystyle H_{2}=X^{3}-2X^{2}+X}$, ${\displaystyle H_{3}=-2X^{3}+3X^{2}}$ et ${\displaystyle H_{4}=X^{3}-X^{2}}$.
2. Soit ${\displaystyle \left(x,y,z,t\right)\in \mathbb {R} ^{4}}$ tel que ${\displaystyle \psi =x\varphi _{1}+y\varphi _{2}+z\varphi _{3}+t\varphi _{4}}$ Alors,
   ${\displaystyle x=\psi (H_{1})={\frac {1}{2}},\quad y=\psi (H_{2})={\frac {1}{12}},\quad z=\psi (H_{3})={\frac {1}{2}},\quad t=\psi (H_{4})=-{\frac {1}{12}}}$.

1. L'application ${\displaystyle P\mapsto P'}$ est linéaire donc par composition, ${\displaystyle P\mapsto P^{(k)}}$ aussi. De plus, l'évaluation en ${\displaystyle 0}$ et la division par une constante (${\displaystyle k!}$) sont linéaires donc (à nouveau par composition) ${\displaystyle T_{k}}$ est linéaire. Puisqu'elle va de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, c'est donc une forme linéaire sur ${\displaystyle E}$.
2. Si ${\displaystyle k<i}$, ${\displaystyle (X^{i})^{(k)}={\frac {i!}{(i-k)!}}X^{i-k}}$ s'annule en ${\displaystyle 0}$. Si ${\displaystyle k>i}$, ${\displaystyle (X^{i})^{(k)}}$ est le polynôme nul. Donc si ${\displaystyle k\neq i}$, ${\displaystyle T_{k}(X^{i})=0}$. Quant à ${\displaystyle T_{i}(X^{i})}$, il vaut bien ${\displaystyle 1}$ car ${\displaystyle (X^{i})^{(i)}}$ est le polynôme constant ${\displaystyle i!}$.