Puisque (faire le calcul) ${\displaystyle AB}$ est un projecteur de rang 2, ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont de rang 2 (donc respectivement injectif et surjectif) et ${\displaystyle A(BA)B=AI_{2}B}$, donc ${\displaystyle BA=I_{2}}$.

1. Soit ${\displaystyle E_{0}}$ un supplémentaire de ${\displaystyle \ker u}$ dans ${\displaystyle E}$. Notons ${\displaystyle u'}$ l'isomorphisme ${\displaystyle E_{0}\to \operatorname {im} u,\;x\mapsto u(x)}$.
   Soit ${\displaystyle F_{0}}$ un supplémentaire de ${\displaystyle \operatorname {im} u}$ dans ${\displaystyle F}$. Définissons ${\displaystyle v\in \operatorname {L} (F,G)}$ par ses restrictions à ${\displaystyle \operatorname {im} u}$ et ${\displaystyle F_{0}}$ : ${\displaystyle v}$ nulle sur ${\displaystyle F_{0}}$ et pour tout ${\displaystyle y\in \operatorname {im} u}$, ${\displaystyle v(y)=w\left({u'}^{-1}(y)\right)}$.
   Alors, pour tout ${\displaystyle x\in E}$, ${\displaystyle x=x_{0}+z}$ avec ${\displaystyle x_{0}\in E_{0}}$ et ${\displaystyle z\in \ker u\subset \ker w}$, en notant ${\displaystyle y=u\left(x_{0}\right)}$, on a bien : ${\displaystyle w\left(x\right)=w\left(x_{0}\right)=v\left(y\right)=v\left(u\left(x\right)\right)}$.
2. D'après la question précédente appliquée à ${\displaystyle G=K}$ (le corps des scalaires), ${\displaystyle w=\psi }$, ${\displaystyle F=K^{n}}$ et ${\displaystyle u:E\to F,\;x\mapsto \left(\varphi _{1}(x),\dots ,\varphi _{n}(x)\right)}$, il existe une forme linéaire ${\displaystyle v}$ sur ${\displaystyle K^{n}}$, qui s'écrit donc ${\displaystyle v\left(k_{1},\dots ,k_{n}\right)=\sum \lambda _{i}k_{i}}$, telle que ${\displaystyle \forall x\in E\quad \psi \left(x\right)=v\left(\varphi _{1}(x),\dots ,\varphi _{n}(x)\right)=\sum \lambda _{i}\varphi _{i}\left(x\right)}$, c'est-à-dire ${\displaystyle \psi =\sum \lambda _{i}\varphi _{i}}$.