Présentation générale
La définition et la représentation paramétrique d'un plan sont analogues à celles d'une droite, à ceci près que la direction n'est plus donnée par un vecteur (non nul) mais par deux vecteurs (non colinéaires), ce qui fera donc intervenir deux paramètres. Un plan sera ainsi défini par un point et deux vecteurs non colinéaires, ou par trois points non alignés.
Définition d'un plan affine
Soient un point et deux vecteurs non colinéaires. Le plan passant par le point et de direction engendrée par et est l'ensemble, noté , des points de l'espace tels que soit combinaison linéaire de et :
- .
- Remarques
-
- L'application est une bijection, c'est-à-dire que chaque point du plan correspond à une valeur du couple de réels et réciproquement. Le point correspond à .
- est un repère du plan .
Pour trois points non alignés de l'espace, le plan est l'unique plan passant par , et .
- Le plan est bien défini (car sont non colinéaires puisque sont non alignés) et passe par , et .
- Réciproquement, si un plan (où est un point et deux vecteurs non colinéaires) passe par , et , c'est-à-dire s'il existe trois couples de réels tels que , et alors, puisque les deux vecteurs et appartiennent à et ne sont pas colinéaires, ils engendrent ce plan vectoriel, et .
Représentation paramétrique
Étant donné un repère , la représentation paramétrique d'un plan s'écrit donc :
- pour un plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires :
; |
- pour un plan défini par trois points non alignés :
. |
- On reconnaît l'écriture des coordonnées du barycentre de .
Réciproquement, pour tous triplets de réels non colinéaires et ,
est la représentation paramétrique du plan passant par le point de coordonnées et de direction engendrée par et .