Dans ce chapitre, nous allons établir le lien existant entre fonction dérivée et étude du sens de variation d'une fonction. Nous verrons alors que la fonction dérivée est un outil particulièrement puissant dans l'étude et le tracé d'une fonction.

Premières considérations

Soit une fonction ${\displaystyle f}$ croissante sur un intervalle ${\displaystyle I}$ sur lequel ${\displaystyle f}$ est dérivable.

Nous savons déjà que pour tout nombre ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ de ${\displaystyle I}$, nous avons ${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\geqslant 0}$.

Si la fonction est strictement croissante, nous aurons ${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}>0}$.

Soit ${\displaystyle x_{0}}$ un nombre donné de ${\displaystyle I}$. fixons ${\displaystyle a}$ en posant ${\displaystyle a=x_{0}}$ et posons ${\displaystyle h=b-a}$. Nous ferons alors varier ${\displaystyle h}$ de façon à ce que ${\displaystyle b}$ reste dans ${\displaystyle I}$.

Nous pouvons dire alors que :

Si ${\displaystyle f}$ est croissante sur ${\displaystyle I}$ alors ${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\geqslant 0}$.

Si ${\displaystyle f}$ est strictement croissante sur ${\displaystyle I}$ alors ${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}>0}$.

Comme ${\displaystyle f}$ est dérivable sur ${\displaystyle I}$ la limite ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}$ existe et est finie.

Nous nous posons la question : Que peut-on dire de cette limite ?

En faisant un raisonnement plus intuitif que mathématique, nous remarquons que ${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}$ est composé de fonctions continues. Par conséquent la fonction qui à ${\displaystyle h}$ associe l'expression ${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}$ sera elle aussi continue. Lorsque ${\displaystyle h}$ varie et s'approche de ${\displaystyle 0}$, le rapport ${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}$ gardera toujours des valeurs positives. On voit mal, dans ces conditions, comment ce rapport pourrait tendre vers une valeur strictement négative ${\displaystyle \varphi }$ sans prendre, pour certaines valeurs de ${\displaystyle h}$, les valeurs négatives comprises entre ${\displaystyle \varphi }$ et ${\displaystyle 0}$. Nous admettrons donc que ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\geqslant 0}$. Et par conséquent le nombre dérivé en ${\displaystyle x_{0}}$ est positif ou nul. Cela étant vrai quel que soit le choix de ${\displaystyle x_{0}}$ dans ${\displaystyle I}$, la fonction dérivée ${\displaystyle f'}$ sera positive sur ${\displaystyle I}$.

Le raisonnement que nous venons de faire n'a pas tenu compte du fait que ${\displaystyle f}$ était croissante ou strictement croissante. Par conséquent, nous admettrons qu'il est possible que la fonction dérivée ${\displaystyle f'}$ s'annule pour certaines valeurs de ${\displaystyle I}$ même si celle-ci est strictement croissante.

Rapport entre dérivée et sens de variation

Nous avons les trois théorèmes suivants :

Théorème sur la croissance

Soit ${\displaystyle I=]a;\,b[}$ un intervalle de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sur lequel une fonction ${\displaystyle f}$ est dérivable.

La fonction ${\displaystyle f}$ est croissante sur ${\displaystyle I}$ si et seulement si pour tout ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle f'(x)\geqslant 0}$

Théorème sur la décroissance

Soit ${\displaystyle I=]a;\,b[}$ un intervalle de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sur lequel une fonction ${\displaystyle f}$ est dérivable.

La fonction ${\displaystyle f}$ est décroissante sur ${\displaystyle I}$ si et seulement si pour tout ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle f'(x)\leqslant 0}$

Théorème sur la constance

Soit ${\displaystyle I=]a;\,b[}$ un intervalle de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sur lequel une fonction ${\displaystyle f}$ est dérivable.

La fonction ${\displaystyle f}$ est constante sur ${\displaystyle I}$ si et seulement si pour tout ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle f'(x)=0}$

Une démonstration rigoureuse de ces trois théorèmes nécessite des outils de niveau supérieur. Nous admettrons donc ces trois théorèmes et nous nous contenterons donc des vagues considérations du paragraphe précédent.

Extremums

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction et soit ${\displaystyle ]a;\,b[}$ un intervalle sur lequel ${\displaystyle f}$ est dérivable et sur lequel il existe un nombre fini de points où la dérivée s'annule. Nous supposerons aussi que la dérivée ${\displaystyle f'}$ est continue sur ${\displaystyle ]a;\,b[}$.

Quitte à réduire l'intervalle d'étude, nous pouvons supposer que la dérivée ${\displaystyle f'}$ s'annule en un seul point ${\displaystyle x_{0}}$ de ${\displaystyle ]a;\,b[}$.

Considérons alors les deux intervalles ${\displaystyle ]a;\,x_{0}[}$ et ${\displaystyle ]x_{0};\,b[}$. ${\displaystyle f'}$ étant continue sur chacun de ces deux intervalles aura donc un signe constant sur chacun d'eux.

Quatre cas peuvent alors si produire :

Premier cas : ${\displaystyle f'}$ est positive sur ${\displaystyle ]a;\,x_{0}[}$ et positive sur ${\displaystyle ]x_{0};\,b[}$, nous savons déjà que cela entraîne que ${\displaystyle f}$ est croissante sur ${\displaystyle ]a;b[}$.

Deuxième cas : ${\displaystyle f'}$ est négative sur ${\displaystyle ]a;\,x_{0}[}$ et négative sur ${\displaystyle ]x_{0};\,b[}$, nous savons déjà que cela entraîne que ${\displaystyle f}$ est décroissante sur ${\displaystyle ]a;b[}$.

Troisième cas : ${\displaystyle f'}$ est positive sur ${\displaystyle ]a;\,x_{0}[}$ et négative sur ${\displaystyle ]x_{0};\,b[}$, la fonction sera donc croissante sur ${\displaystyle ]a;\,x_{0}[}$ et décroissante sur${\displaystyle ]x_{0};\,b[}$. Nous dirons qu'elle admet un maximum relatif en ${\displaystyle x_{0}}$.

Quatrième cas : ${\displaystyle f'}$ est négative sur ${\displaystyle ]a;\,x_{0}[}$ et positive sur ${\displaystyle ]x_{0};\,b[}$, la fonction sera donc décroissante sur ${\displaystyle ]a;\,x_{0}[}$ et croissante sur${\displaystyle ]x_{0};\,b[}$. Nous dirons qu'elle admet un minimum relatif en ${\displaystyle x_{0}}$.

Un maximum ou un minimum sont ce que l'on appelle des extremums. Rechercher les extremums d'une fonction, c'est rechercher tous les points de la courbe où la fonction admet un maximum ou un minimum.