Le coefficient directeur de la tangente est donné par la dérivée, calculons donc la dérivée :

${\displaystyle f'(x)=2x-3}$

Si ${\displaystyle y=ax+b}$ est l'équation de la tangente, on aura donc :

${\displaystyle a=f'(x_{0})=f'(2)=2\times 2-3=1}$

Le point de la courbe d'abscisse ${\displaystyle 2}$ a pour ordonnée :

${\displaystyle y_{0}=f(2)=2^{2}-3\times 2+5=3}$

La tangente passe donc par le point de coordonnées ${\displaystyle (2,\,3)}$, on en déduit :

${\displaystyle b=y_{0}-ax_{0}=3-2\times 2=-1}$

L'équation de la tangente est donc :

${\displaystyle y=2x-1}$

Le coefficient directeur de la tangente est donné par la dérivée, calculons donc la dérivée :

${\displaystyle f'(x)={\frac {1\times (x+1)-(x+3)\times 1}{(x+1)^{2}}}=-{\frac {2}{(x+1)^{2}}}}$

Si ${\displaystyle y=ax+b}$ est l'équation de la tangente, on aura donc :

${\displaystyle a=f'(1)=-{\frac {2}{2^{2}}}=-{\frac {1}{2}}}$

Le point de la courbe d'abscisse ${\displaystyle 1}$ a pour ordonnée :

${\displaystyle f(1)={\frac {1+3}{1+1}}=2}$

La tangente passe donc par le point de coordonnées ${\displaystyle (1,2)}$ ; on en déduit :

${\displaystyle b=f(1)-a\times 1=2+{\frac {1}{2}}={\frac {5}{2}}}$.

L'équation de la tangente est donc :

${\displaystyle y=-{\frac {x}{2}}+{\frac {5}{2}}}$.

1. Cette hyperbole est la courbe représentative de ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$.
   ${\displaystyle f'(a)=-{\frac {1}{a^{2}}}}$ donc la tangente a pour équation ${\displaystyle y={\frac {1}{a}}-{\frac {1}{a^{2}}}(x-a)}$, soit ${\displaystyle y=-{\frac {x}{a^{2}}}+{\frac {2}{a}}}$.
2. D'après la question 1, un réel ${\displaystyle c}$ est solution s'il existe ${\displaystyle a}$ tel qu'on ait à la fois ${\displaystyle -{\frac {1}{a^{2}}}=-2}$ et ${\displaystyle {\frac {2}{a}}=c}$, c.-à-d. ${\displaystyle a=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ et ${\displaystyle c=\pm 2{\sqrt {2}}}$.
   Ou directement : l'équation ${\displaystyle x(c-2x)=1}$ a une racine double si et seulement si son discriminant ${\displaystyle c^{2}-8}$ est nul…