Exercice 1-1

La formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est supposée connue.

On a énoncé ci-dessous deux propositions désignées par ${\displaystyle P}$ et ${\displaystyle Q}$. Dire pour chacune d'elles si elle est vraie ou fausse et justifier.

Dans cet exercice, ${\displaystyle n}$ désigne un entier naturel strictement supérieur à ${\displaystyle 1}$.

${\displaystyle P:}$ Soit ${\displaystyle f}$ la fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ ; alors ${\displaystyle f}$ est dérivable sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$, de dérivée ${\displaystyle f'}$ donnée sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par ${\displaystyle f'(x)=n.x^{n-1}}$.

${\displaystyle Q:}$ Soit ${\displaystyle u}$ une fonction dérivable sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et soit ${\displaystyle f}$ la fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par ${\displaystyle f(x)=u^{n}}$ ; alors ${\displaystyle f}$ est dérivable sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$, de dérivée ${\displaystyle f'}$ donnée sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par ${\displaystyle f'(x)=u'.n.u^{n-1}}$.